【数Ⅲ】【微分とその応用】平均値の定理の利用3 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
k、αは定数、関数f(x)は微分可能であるとする。
lim[x→∞]f'(x)＝αのとき、lim[x→∞]｛f(x+k)－f(x)｝を求めよ。

チャプター：

0:00　オープニング
0:04　問題概要
1:55　平均値の定理が使える式に変換
2:52　分母の『ｋ』について考える

単元： #微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
k、αは定数、関数f(x)は微分可能であるとする。
lim[x→∞]f'(x)＝αのとき、lim[x→∞]｛f(x+k)－f(x)｝を求めよ。

投稿日：2025.02.27

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問題文全文(内容文)：

3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - k = 0

が相異なる4つの実数解をもつ

k

の範囲
そのときの4つの解のうち最大のものを

α

とする。

α

の範囲を求めよ

出典：1989年慶應義塾大学　過去問

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問題文全文(内容文)：
数学

III

連続と微分可能(1)

f (x)

が

x = a

で微分可能

\Rightarrow f (x)

は

x = a

で連続
を示せ。また、逆が成り立たないことを示せ。

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問題文全文(内容文)：

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - 2 \frac{d x}{d t}

(1)

x = c_{1} e^{- 2 t} + c_{2}

(c_{1}, c_{2} : 定 数)

は一般解であることを示せ
(2)t=0のときx=1,

\frac{d x}{d t} = 2

をみたす解を求めよ
(3)t=0のときx=0
t=1のときx=1
をみたす解を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
以下の各問いに答えよ。
（1）
関数

f (x) = x l o g x

を微分せよ。

（2）
次の等式を満たす

c

が

x < c < x + 1

の範囲に存在することを示せ。

(x + 1) l o g (x + 1) - x l o g x = 1 + l o g c

（3）

x > 0

のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
ただし

e

は自然対数の底である。

{[1 + \frac{1}{x}]}^{x} < e

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
実数xに対し、関数f(x)を

f (x) = x e^{- x}

により定める。座標平面上の曲線

C : y = f (x)

に関して、次の問(1)~(5)に答えよ。
(1)f(x)の導関数

f^{'} (x)

を求め、

f (x)

の増減表を書け。ただし、極値も記入すること。
(2)f(x)の第2次導関数

f^{″} (x)

を求め、Cの変曲点の座標を求めよ。
(3)Cの変曲点と、座標平面上の原点を通る直線を

l

とする。
Cとlで囲まれた領域の面積Sを求めよ。
(4)

a, b, c

を定数とし、関数

g (x)

を

g (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{- 2 x}

と定める。

g (x)

の導関数

g^{'} (x)

が

g^{'} (x) = x^{2} e^{- 2 x}

を満たすとき、

a, b, c

の値を求めよ。
(5)Cと(3)で定めたlで囲まれた領域を、x軸の周りに1回転してできる
回転体の体積Vを求めよ。

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