問題文全文(内容文)：
aは$0<a\leqq \frac{\pi }{4}$を満たす実数とし、
$f(x)=\frac{4}{3}\sin (\frac{\pi }{4}+ax)\cos (\frac{\pi }{4}-ax)$
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)次の等式(*)を満たすaがただ1つ存在することを示せ。
(*)　　${\int }_0^{1}f(x)dx=1$
(2)$0\leqq b<c\leqq 1$を満たす実数b,cについて、不等式
$f(b)(c-b)\leqq {\int }_b^{c}f(x)dx\leqq f(c)(c-b)$
が成り立つことを示せ。
(3)次の試行を考える。\
[試行]n個の数$1,2,\dots \dots ,n$を出目とする、あるルーレットをk回まわす。
この試行において、各$i=1,2,\dots \dots ,n$についてiが出た回数を$S_{n,k,i}$とし、

(**)$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{S_{n,k,i}}{k}={\int }_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
が成り立つとする。このとき、(1)の等式(*)が成り立つことを示せ。
(4)(3)の[試行]において出た数の平均値を$A_{n,k}$とし、$A_n=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_{n,k}$とする。
(**)が成り立つとき、極限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{A_n}{n}$をaを用いて表せ。

2022東京工業大学理系過去問