問題文全文(内容文)：
aは$0 \lt a \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす実数とし、
$f(x)=\frac{4}{3}\sin(\frac{\pi}{4}+ax)\cos(\frac{\pi}{4}-ax)$
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)次の等式(*)を満たすaがただ1つ存在することを示せ。
(*) $\int_0^1f(x)dx=1$
(2)$0 \leqq b \lt c \leqq 1$を満たす実数b,cについて、不等式
$f(b)(c-b) \leqq \int_b^cf(x)dx \leqq f(c)(c-b)$
が成り立つことを示せ。
(3)次の試行を考える。\\
[試行]n個の数$1,2,\ldots\ldots,n$を出目とする、あるルーレットをk回まわす。
この試行において、各$i=1,2,\ldots\ldots,n$についてiが出た回数を$S_{n,k,i}$とし、
(**)$\lim_{k \to \infty}\frac{S_{n,k,i}}{k}=\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
が成り立つとする。このとき、(1)の等式(*)が成り立つことを示せ。
(4)(3)の[試行]において出た数の平均値を$A_{n,k}$とし、$A_n=\lim_{k \to \infty}A_{n,k}$とする。
(**)が成り立つとき、極限$\lim_{n \to \infty}\frac{A_n}{n}$をaを用いて表せ。
2022東京工業大学理系過去問
aは$0 \lt a \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす実数とし、
$f(x)=\frac{4}{3}\sin(\frac{\pi}{4}+ax)\cos(\frac{\pi}{4}-ax)$
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)次の等式(*)を満たすaがただ1つ存在することを示せ。
(*) $\int_0^1f(x)dx=1$
(2)$0 \leqq b \lt c \leqq 1$を満たす実数b,cについて、不等式
$f(b)(c-b) \leqq \int_b^cf(x)dx \leqq f(c)(c-b)$
が成り立つことを示せ。
(3)次の試行を考える。\\
[試行]n個の数$1,2,\ldots\ldots,n$を出目とする、あるルーレットをk回まわす。
この試行において、各$i=1,2,\ldots\ldots,n$についてiが出た回数を$S_{n,k,i}$とし、
(**)$\lim_{k \to \infty}\frac{S_{n,k,i}}{k}=\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
が成り立つとする。このとき、(1)の等式(*)が成り立つことを示せ。
(4)(3)の[試行]において出た数の平均値を$A_{n,k}$とし、$A_n=\lim_{k \to \infty}A_{n,k}$とする。
(**)が成り立つとき、極限$\lim_{n \to \infty}\frac{A_n}{n}$をaを用いて表せ。
2022東京工業大学理系過去問
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
aは$0 \lt a \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす実数とし、
$f(x)=\frac{4}{3}\sin(\frac{\pi}{4}+ax)\cos(\frac{\pi}{4}-ax)$
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)次の等式(*)を満たすaがただ1つ存在することを示せ。
(*) $\int_0^1f(x)dx=1$
(2)$0 \leqq b \lt c \leqq 1$を満たす実数b,cについて、不等式
$f(b)(c-b) \leqq \int_b^cf(x)dx \leqq f(c)(c-b)$
が成り立つことを示せ。
(3)次の試行を考える。\\
[試行]n個の数$1,2,\ldots\ldots,n$を出目とする、あるルーレットをk回まわす。
この試行において、各$i=1,2,\ldots\ldots,n$についてiが出た回数を$S_{n,k,i}$とし、
(**)$\lim_{k \to \infty}\frac{S_{n,k,i}}{k}=\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
が成り立つとする。このとき、(1)の等式(*)が成り立つことを示せ。
(4)(3)の[試行]において出た数の平均値を$A_{n,k}$とし、$A_n=\lim_{k \to \infty}A_{n,k}$とする。
(**)が成り立つとき、極限$\lim_{n \to \infty}\frac{A_n}{n}$をaを用いて表せ。
2022東京工業大学理系過去問
aは$0 \lt a \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす実数とし、
$f(x)=\frac{4}{3}\sin(\frac{\pi}{4}+ax)\cos(\frac{\pi}{4}-ax)$
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)次の等式(*)を満たすaがただ1つ存在することを示せ。
(*) $\int_0^1f(x)dx=1$
(2)$0 \leqq b \lt c \leqq 1$を満たす実数b,cについて、不等式
$f(b)(c-b) \leqq \int_b^cf(x)dx \leqq f(c)(c-b)$
が成り立つことを示せ。
(3)次の試行を考える。\\
[試行]n個の数$1,2,\ldots\ldots,n$を出目とする、あるルーレットをk回まわす。
この試行において、各$i=1,2,\ldots\ldots,n$についてiが出た回数を$S_{n,k,i}$とし、
(**)$\lim_{k \to \infty}\frac{S_{n,k,i}}{k}=\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
が成り立つとする。このとき、(1)の等式(*)が成り立つことを示せ。
(4)(3)の[試行]において出た数の平均値を$A_{n,k}$とし、$A_n=\lim_{k \to \infty}A_{n,k}$とする。
(**)が成り立つとき、極限$\lim_{n \to \infty}\frac{A_n}{n}$をaを用いて表せ。
2022東京工業大学理系過去問
投稿日：2022.04.04
