【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の2等分 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
放物線y=2+x-x²とx軸で囲まれた図形の面積を、点(2,0)を通る直線lが2等分するとき、lの傾きを求めよ。

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単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
放物線y=2+x-x²とx軸で囲まれた図形の面積を、点(2,0)を通る直線lが2等分するとき、lの傾きを求めよ。

投稿日：2025.03.31

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y = x^{2} (x + 1) と y = k^{2} (x + 1)

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(0 ≦ k ≦ 1)

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3

(3)

a

を定数とする。座標平面上の直線

y

a x

\frac{1}{4}

と放物線

y

x^{2}

の2つの交点を

P_{1}

P_{2}

とする。

a

が0≦

a

≦1の範囲を動くとき、線分

P_{1} P_{2}

の通過する部分の面積は

\frac{ル}{レ}

である。

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1

a

を正の実数とし、

f (x)

x^{2}

－

2 a x

4 a^{2}

とする。Oを原点とする

x y

平面上の放物線C：

y

f (x)

の頂点をAとする。直線OAとCの交点のうちAと異なるものをP(

p

f (p)

)とし、OからCへ引いた接線の接点をQ(

q

f (q)

)とする。ただし、

q

＞0 とする。
(1)

p

q

の値を

a

を用いて表せ。また、

p

＞

q

であることを示せ。
(2)放物線Cの

q

≦

x

≦

p

の部分、線分OP、および線分OQで囲まれた図形の面積をSとおく。Sを

a

を用いて表せ。
(3)(2)のSに対し、S=

\frac{2}{3}

となるときの

a

の値を求めよ。

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