福田の数学〜上智大学2023年理工学部第3問〜対数関数の積分と数学的帰納法 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜上智大学2023年理工学部第3問〜対数関数の積分と数学的帰納法

問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{3}$ $e$を自然定数の底とする。自然数$n$に対して、
$S_n$=$\displaystyle\int_1^e(\log x)^n dx$
とする。
(1)$S_1$の値を求めよ。
(2)すべての自然数$n$に対して、
$S_n$=$a_n e$+$b_n$, ただし$a_n$, $b_n$はいずれも整数
と表されることを証明せよ。
単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#数列#数学的帰納法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{3}$ $e$を自然定数の底とする。自然数$n$に対して、
$S_n$=$\displaystyle\int_1^e(\log x)^n dx$
とする。
(1)$S_1$の値を求めよ。
(2)すべての自然数$n$に対して、
$S_n$=$a_n e$+$b_n$, ただし$a_n$, $b_n$はいずれも整数
と表されることを証明せよ。
投稿日:2023.09.25

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整数$n\geqq 2$であり,$a_n=\dfrac{(1+\sqrt3)^n+(1-\sqrt3)^n}{4}$である.
$a_n$は整数であり,$a_n$を$3$で割った余りは$2$であることを示せ.

2013千葉大過去問
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指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
次のように定められた数列${a_n}$の一般項を求めよ。
$a_1=1$,$a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_n}{2a_n+5}$
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問題文全文(内容文):
n自然数
$\sqrt{n}$に最も近い整数を$a_n$とする
(例)$a_3=2$,$a_{10}=3$
$\displaystyle\sum_{n=1}^{2023}\frac{1}{a_n}$を求めよ
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指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
2022年度第2回全統記述高2模試全問解説動画です!
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【高校数学】等差数列の和の例題演習・標準 3-4.5【数学B】

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指導講師: 【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文):
1⃣
等差数列において、初項から第n項までの和を$S_{n}$とする。
$S_{10}=10,S_{20}=40$のとき、$S_{n}$を求めよ。

2⃣
10から100までの自然数のうち3で割って2余る数の和$S$を求めよ
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