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$\Large\boxed{4}$ $n$を正の整数とする。2つの整数$a_n$, $b_n$を条件
$(1+\sqrt 2)^n$=$a_n$+$b_n\sqrt 2$
により定める。ここで$\sqrt 2$は無理数なので、このような整数の組($a_n$, $b_n$)はただ1つに定まる。
(1)$a_{n+1}$, $b_{n+1}$を$a_n$, $b_n$を用いてそれぞれ表せ。さらに$b_4$, $b_5$, $b_6$の値をそれぞれ求めよ。
(2)等式$(1-\sqrt 2)^n$=$a_n$－$b_n\sqrt 2$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。
(3)$n$≧2 のとき、$b_{n+1}b_{n-1}$－$b_n^2$ を求めよ。
(4)$pb_6$－$qb_5$=1, 0≦$p$≦100, 0≦$q$≦100 をすべて満たす整数$p$, $q$の組($p$, $q$)を1組求めよ。

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$a_1$=$\displaystyle\frac{1}{2}$, $a_{n+1}$=$\sqrt{\displaystyle\frac{a_n+1}{2}}$ を満たす数列$\left\{a_n\right\}$の一般項$a_n$を求めよ。

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2023年　佐賀大学　過去問

0,1,2,3のカードから1枚選んでメモをしてもどすのを$n$回くり返し、
選んだカードの和を$S_n$とする。
$S_n$が3で割り切れる確率$p_n$、3で割って1余る確率$q_n$を求めよ。

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早稲田大学過去問題
k自然数　$a_k$は$\sqrt k$にもっとも近い整数
(例)$a_5=2,a_8=3,a_{20}=4$
(1)$\displaystyle\sum_{k=1}^{12}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_{12}$
(2)$\displaystyle\sum_{k=1}^{1998}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_{1998}$

問題文全文(内容文)：
1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。

京都大過去問