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#大学入試過去問(数学)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)
指導講師:
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
大問1:小問集合
(1)2次不等式x²+5x-6<0を解け。
(2)9人の生徒を3人ずつA,B,Cの3つの組に分けるとき、分け方は何通りか。
(3)次のデータがある。3,5,5,6,7,10.このデータの平均値を求めよ。また、分散を求めよ。
(4)(4x+1)⁵を展開したとき、x²の係数を求めよ。
(5)xの整式x³-3x²+ax-a (aは定数)がx-2で割り切れるとき、aの値を求めよ。
(6)a≠0,b≠0とする。 (ab)⁵×(a²)^(-3)÷(b²)²を計算せよ。
(7)整数m,nについて、m+nが偶数であることは、mnが偶数であるための□である。
(選択肢)
①必要十分条件である
②必要条件であるが、十分条件ではない
③十分条件であるが、必要条件ではない
④必要条件でも十分条件でもない
大問2[1]:式と証明
次のような問題がある。
問1 すべての実数xに対して、不等式 x²+x+1≧3x-2 …(*)が成り立つことを証明せよ。
問2 x≧2のとき、関数 f(x)=x+2/x の最小値を求めよ。
太郎さんはこの問題の解答を次のように書いた。
問1 (x²+x+1)-(3x-2)=x²-2x+3=(a-1)²+2 すべての実数xに対して、(x-1)²≧0であるから、(a-1)²+2≧0 よって、x²+x+1≧3x-2 は成り立つ。
問2 x≧2のとき、x>0,2/x>0であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、x+2/x≧2√x×2/x これより、f(x)≧2√2 よって、f(x)の最小値は2√2である。
(1)太郎さんの問1の解答は正しいか、正しくないか答えよ(答えのみでよい)。また、xが実数のとき、問1の不等式(*)において、等号が成り立つか成り立たないか答えよ。さらに、その理由を「実数」「実数解」のいずれかの単語を用いて説明せよ。
大問2[2]:確率
1~4の数字が書かれたカードが1枚ずつ計4枚のカードが入っている袋がある。この袋の中から1枚のカードを無作為に取り出し、カードに書かれた数を記録して袋に戻すことを繰り返し4回行う。
(1)4回とも1が記録される確率を求めよ。
(2)4回とも2以上の数が記録される確率を求めよ。
(3)記録された4個の数の最小値が2である確率を求めよ。
大問3:図形と方程式
aは実数の定数とする。xy平面上に2点A(1,0)、B(-1,4)と円C:x²+y²-2(a+1)x-4ay+5a²+2a=0があり、Cの中心をPとする。
(1)線分ABの長さと、直線ABの方程式を求めよ。
(2)a=1のとき、Pの座標を求めよ。また、このときのPと直線ABの距離を求めよ。
(3)aが実数全体を変化するとき、Pの軌跡を求めよ。
(4)aの値が1≦a≦3の範囲を変化するとき、Cが通過する領域をDとする。点QがDを動くとき、三角形ABQの面積の最小値と最大値をそれぞれ求めよ。
大問4:三角関数
座標平面上に2点A(8,0)、B(0,8)と、原点を中心とする半径3の円がある。この円上に、x座標、y座標がともに正である点P(3cosθ,3sinθ)(0<θ<π/2)をとる。Pからx軸に下した垂線とx軸の交点をQ、Pからy軸に下した垂線とy軸の交点をRとし、△APQと△BPRの面積の和をSとする。
(1)線分AB、BRの長さをそれぞれsinθ、cosθを用いて表せ。
(2)Sをsinθ、cosθを用いて表せ。
(3)t=sinθ+cosθとする。θが0<θ<π/2の範囲を変化するとき、tのとり得る値の範囲を求めよ。
(4)(i)θが0<θ<π/2の範囲を変化するとき、Sの最大値を求めよ。
(ii)Sが最大となるθは2つあり、それらをθ₁,θ₂(0<θ₁<θ₂<π/2)とする。このとき、π/8<θ₁<π/6であることを証明せよ。
大問5:微分法
3次関数 f(x)=2x³+3(1-a)x²-6ax+8a がある。ただし、aは実数の定数である。
(1)a=2とする。
(i)f(x)の増減を調べて、f(x)の極大値と極小値を求めよ。
(ii)xの方程式f(x)=0の解で、1<x<2を満たすものの個数を求めよ。
(2)f(x)が1<x<2において極値をもたないようなaの値の範囲を求めよ。
(3)xの方程式f(x)=0が1<x<2の範囲に少なくとも1つの解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
大問6:ベクトル
Oを原点とする座標空間に、3点A(1,2,2)、B(3,-4,0)、C(a,b,5)があり、OA⊥OCかつOB⊥OCが成り立っている。
(1)│OA│、│OB│、内積OA・OB、cos∠AOBの値をそれぞれ求めよ。
(2)a,bの値を求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。
(4)Oを中心とする半径rの球面Sがある。Sが3点A,B,Cを通る平面と交わってできる円の半径が2であるとき、rの値を求めよ。
大問7:数列
数列{a[n]}(n=1,2,3,…)をa₁=7, a[n+1]=a[n]+4(n=1,2,3,…)によって定める。
(1)a₄の値を求めよ。また、数列{a[n]}の一般項a[n]を求めよ。
(2)Σ[k=1~n]a[k]を求めよ。
(3)数列{b[n]}(n=1,2,3,…)をb₁=3, b[n+1]-b[n]=a[n](n=1,2,3,…)によって定める。数列{b[n]}の一般項b[n]を求めよ。
(4)数列{c[n]}(n=1,2,3,…)を(3)のb[n]を用いて、c₁=1/5, c[n+1]=b[n]×c[n]/(b[n+1]-3)(n=1,2,3,…)によって定める。数列{c[n]}の一般項c[n]を求めよ。また、Σ[k=1~n]c[k]を求めよ。
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