問題文全文(内容文)：
$\triangle \textrm{OAB}$において、$\vert\overrightarrow{ \textrm{OA}}\vert=3,|\overrightarrow{ \textrm{OB} }| =4,\overrightarrow{ \textrm{OA} }・\overrightarrow{ \textrm{OB} }=6$のとき、$\triangle \textrm{OAB}$の面積$S$は？

問題文全文(内容文)：
ベクトルの大きさの求め方に関して解説していきます.

問題文全文(内容文)：
平面上の$\triangle$ABCに対して,
条件$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|=3$
を満たす動点Pはどのような図形を描くか。

問題文全文(内容文)：
点 O を原点とする座標空間に 3 点 A(-1,0,-2), B(-2,-2, -3 ), C(1, 2,- 2 )がある。
(a)ベクトル$\overrightarrow{ AB }と\overrightarrow{ AC }の内積は\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=\fbox{ アイ }$であり、$\angle ABCの外接円の半径は\sqrt{\fbox{ウエ}}$である。$\angle ABC$の外接円の中心を点 P とすると、
$\overrightarrow{ AP }=\fbox{オ}\overrightarrow{ AB }+\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}\overrightarrow{ AC }$
が成り立つ。
(b)$\angle ABC$の重心を点 G とすると、$\overrightarrow{ OG }=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}(\overrightarrow{ OA }
+\overrightarrow{ OB }+\overrightarrow{ OC })$であり、線分OBを 2 : 1 に内分する点を Q とすると、$\overrightarrow{ AQ }=(\frac{\fbox{コサ}}{\fbox{シ}},\frac{\fbox{スセ}}{\fbox{ソ}},\fbox{タ})$となる。
(c)線分 OC を 2 : I に内分する点を R とし、 3 点 A, Q, R を通る平面を$\alpha$と直線OG との交点を S とする。点 S は平面にあることから、
$\overrightarrow{ OS }=t\overrightarrow{ OA }+u\overrightarrow{ OB }+v\overrightarrow{ OC }$
(ただし、$t,u,vはt+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}u+\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}v=1$を満たす実数)
と書けるので、$\overrightarrow{ OS }=\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}\overrightarrow{ OG }$となることがわかる。
平面$\alpha$上において、点Sは三角形AQRの$\fbox{ヌ}$に存在し、四面体 O-AQR の体積は四面体のO-ABCの体積の$frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}$倍である。

2023杏林大学過去問

問題文全文(内容文)：
$O$ を中心とする半径1の円周上の点 $P_1$ から図のように (図は動画内参照) 点 $Q$ を発射すると円の中を $P_2, \, P_3, \, \ldots $ と反射しながら止まることなく動き続けるとする。$\vec{OP_i}=\vec{p_i}$ とおく。$\vec{p_3}, \, \vec{p_4}$ を $\vec{p_1}, \, \vec{p_2}$ で表せ。$\vec{p_i}=\vec{p_1}$ となる最小の $i\ge2$ を求めよ。点 $Q$ が再び点 $P_1$ に到達するまでに、線分 $OQ$ がちょうど2回通過する領域の面積は？