福田の数学〜早稲田大学2021年教育学部第４問〜三角形の個数を数える

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問題文全文(内容文)：

4

1辺の長さが

1

の正三角形を下図(※動画参照)のように積んでいく。図の中には大きさの異なったいくつかの正三角形が含まれているが、底辺が下側にあるものを「上向きの正三角形」、底辺が上側にあるものを「下向きを正三角形」とよぶことにする。例えば、この図(※動画参照)は1辺の長さが1の正三角形を4段積んだものであり、1辺の長さが1の上向きの正三角形は10個あり、1辺の長さが2の上向き正三角形は6個ある。
また1辺の長さが1の下向きの正三角形は6個ある。上向きの正三角形の総数は20であり、下向きの正三角形の総数は7である。こうした正三角形の個数に関して次の問いに答えよ。
(1)1辺の長さが1の正三角形を

5

段積んだとき、上向きと下向きとを合わせた正三角形の総数を求めよ。
(2)1辺の長さが1の正三角形を

n

段(ただし

n

は自然数)積んだとき、上向きの正三角形の総数を求めよ。
(3)1辺の長さが1の正三角形を

n

段(ただし

n

は自然数)積んだとき、下向きの正三角形の総数を求めよ。

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

1辺の長さが

1

5

段積んだとき、上向きと下向きとを合わせた正三角形の総数を求めよ。
(2)1辺の長さが1の正三角形を

n

段(ただし

n

は自然数)積んだとき、上向きの正三角形の総数を求めよ。
(3)1辺の長さが1の正三角形を

n

段(ただし

n

は自然数)積んだとき、下向きの正三角形の総数を求めよ。

投稿日：2021.06.04

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問題文全文(内容文)：

n

は自然数である.

x^{2} - 3 x + 5 = 0

の2つの解を

α, β

とする.

α^{n} + β^{n} - 3^{n}

は5の倍数であることを示せ.

2013東工大過去問

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 3

a_{n + 1} > a_{n}

n

自然数　一般項を求めよ

a_{n}^{2} - 2 a_{n} a_{n + 1} + a_{n + 1}^{2} = 3 (a_{n} + a_{n + 1})

出典：2015年東北大学　過去問

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問題文全文(内容文)：

a = 3 + \sqrt{10}, b = 3 - \sqrt{10}

とし、正の整数nに対して

A_{n} = a^{n} + b^{n}

とおく。
このとき、

A_{2}, A_{3}

の値はそれぞれ

A_{2} = ク, A_{3} = ケ

であり、

A_{n + 2}

を

A_{n + 1}, A_{n}

を用いて表すと

A_{n + 2} = コ

である。
また、

a^{111}

の整数部分を

k

とするとき、kを10で割ると

サ

余る。

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問題文全文(内容文)：
2016一橋大学過去問題
硬貨が2枚ある。最初は2枚とも表の状態で置かれている。次の操作をn回行った後、硬貨が2枚とも裏になっている確率を求めよ。
(操作)2枚とも表、又は2枚とも裏のとき、2枚とも投げる。表裏各1枚のときには表の硬貨だけ投げる。

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問題文全文(内容文)：

1

実数xに対して、x以下の最大の整数を

[x]

と表すことにする。
いま、数列

{a_{n}}

を

a_{n} = [\sqrt{2 n} + \frac{1}{2}]

と定義すると

a_{1} = ア, a_{2} = イ, a_{3} = ウ, a_{4} = エ, a_{5} = オ, a_{6} = カ,

となる。このとき、

a_{n} = 10

となるのは、

キ ク ≦ n ≦ ケ コ

の場合に限られる。
また、

\sum_{n = 1}^{ケ コ} a_{n} = サ シ ス セ

である。

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