問題文全文(内容文)：
$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$
f(α)=f(β) , 0 < α < β　のとき${\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{x}{1+x^2}dx=lo{g}_{\beta }$を示せ

問題文全文(内容文)：

(1)$\int x(x^2+4{)}^{\frac{1}{3}}dx$
(2)${\int }_2^{2\sqrt{15}}x(x^2+4{)}^{\frac{1}{3}}dx$

問題文全文(内容文)：
${\displaystyle {\int }_2^3{\displaystyle \frac{x^3+2}{x-1}dx}}$

出典2013年岡山県立大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
tを実数とする。次の条件(★)を満たす$\mathrm{△}ABC$を考える。
(★)$AC=t,BC=1$を満たし、$\mathrm{\angle }BAC$の2等分線と辺BCの交点をDとおくと、
$\cos \mathrm{\angle }DAC=\frac{\sqrt{3}}{3}$である。
(1)$\cos \mathrm{\angle }DAC=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}$である。
(2)tの取りうる範囲を$t_1<t<t_2$とするとき、$t_1=\boxed{{\displaystyle \mathrm{あ}}},t_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{い}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{あ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{い}}}$の選択肢
$(\text{a})0(\text{b})\frac{1}{3}(\text{c})\frac{1}{2}(\text{d})\frac{\sqrt{3}}{3}(\text{e})\frac{2}{3}$
$(\text{f})1(\text{g})\frac{2\sqrt{3}}{2}(\text{h})\sqrt{3}(\text{i})2(\text{j})3$

(3)辺ABの長さをtの式で表すと$AB=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}t+$
$\sqrt{1+\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{t}^2}$である。

(4)$\mathrm{△}ABC$の面積は$t=\frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}$
で最大値$\frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}$をとる。

(5)$t_1,t_2$を(2)で定めた値とする。
$t_1<t<t_2$の範囲で、xyz-座標空間内の平面z=t上に、条件(★)を満たす
$\mathrm{△}ABC$が、$B(0,0,t),C(0,1,t)$を満たし、Aのx座標が正であるように
おかれている。まｇた、$B_1(0,0,t_1),C_1(0,1,t_1),B_2(0,0,t_2),C_2(0,1,t_2)$と
おく。
$\mathrm{△}ABC$を$t_1<t<t_2$の範囲で動かしたときに通過してできる図形に線分$B_1{C}_1$、
線分$B_2{C}_2$を付け加えた立体の体積は$\frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}$である。