問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ $n$を正の整数とし、$C_1$,...,$C_n$を$n$枚の硬貨とする。各$k$=1,...,$n$に対し、硬貨$C_k$を投げて表が出る確率を$p_k$、裏が出る確率を1－$p_k$とする。この$n$枚の硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功、というゲームを考える。
(1)$p_k$=$\frac{1}{3}$ ($k$=1,...,$n$)のとき、このゲームで成功する確率$X_n$を求めよ。
(2)$p_k$=$\frac{1}{2(k+1)}$ ($k$=1,...,$n$)のとき、このゲームで成功する確率$Y_n$を求めよ。
(3)$n$=$3m$($m$は正の定数)で$k$=1,...,$3m$に対して
$p_k$=$\left\{\begin{array}{1}
\frac{1}{3m} (k=1,...,m)　　　\\
\frac{2}{3m} (k=m+1,...,2m)\\
\frac{1}{m} (k=2m+1,...,3m)\\
\end{array}\right.$
とする。このゲームで成功する確率を$Z_{3m}$とするとき、$\displaystyle\lim_{m \to \infty}Z_{3m}$ を求めよ。

問題文全文(内容文)：
机の上にたくさんのコインが置いてます。
そのうち10枚だけ表、残りは全部裏が上になっています。
目隠しをした状態で表が上になっているコインの枚数が同じような
2つのグループに分けるにはどうすればよいか?
ただし、触って表裏の判断はできないとする

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ nを自然数とする。A君とB君の2人が以下の試合Tをnセット行い、それぞれが得点をためていくとする。
試合T：2人で腕ずもうを繰り返し行う。毎回、A君, B君のどちらも勝つ確率は$\frac{1}{2}$ずつである。どちらかが先に2勝したら、腕ずもうを行うのをやめる。2勝0敗の者は2点を、2勝1敗の者は1点を得る。2勝しなかった者の得点は0点である。
A君が1セット目からnセットまでに得た点の合計を$a_n$とし、B君が1セット目からnセットまでに得た点の合計を$b_n$とする。
(1)n=1とする。$a_1$=2である確率は$\boxed{\ \ あ\ \ }$であり、$a_1$=1である確率は$\boxed{\ \ い\ \ }$である。
(2)n≧4とする。試合Tをnセット行ううち、A君が2点を得るのがちょうど2セット、かつ1点を得るのがちょうど2セットである確率は$\frac{\boxed{\ \ う\ \ }}{\boxed{\ \ え\ \ }}$である。
(3)n≧2とする。$a_n$=$n$+2かつ$b_n$=0である確率は$\frac{\boxed{\ \ お\ \ }}{\boxed{\ \ か\ \ }}$である。
(4)$a_n$=2である確率は$\frac{\boxed{\ \ き\ \ }}{\boxed{\ \ く\ \ }}$である。
(5)n=4とする。$a_4$＞$b_4$である確率は$\frac{\boxed{\ \ け\ \ }}{\boxed{\ \ こ\ \ }}$である。

2023慶應義塾大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
明治大学過去問題
同類項は何種類か
$(x+y+z)^{88}$

問題文全文(内容文)：
I　複数の玉が入った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、$n$ を自然数として、以下の問いに答えよ。

(1)

袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。$n$ 回目の試行において赤玉が取り出される確率を $p_n$ とすると、次式が成り立つ。

$p_2=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}},\qquad
p_3=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$

(2)

袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の玉を袋に戻す試行を繰り返す。$n$ 回目の試行において赤玉が取り出される確率を $P_n$ とすると、次式が成り立つ。

$P_2=\dfrac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}},\qquad
P_3=\dfrac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}$

$n$ 回目の試行開始時点で袋に入っている玉の個数 $M_n$ は
$M_n=n+\boxed{\text{ス}}$
であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数を $R_n$ は
$R_n=M_n\times P_n$
と表される。

$n$ 回目の試行において黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が試行前と比べて
$\boxed{\text{セ}}$
個増えるため、$n+1$ 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は

$R_{n+1}=R_n+(1-P_n)\times \boxed{\text{セ}}$

となる。したがって、

$P_{n+1}
=\dfrac{n+\boxed{\text{ソ}}}{n+\boxed{\text{タ}}}P_n
+\dfrac{1}{n+\boxed{\text{チ}}}$

が成り立つ。このことから、

$(n+3)(n+\boxed{\text{ツ}})
\left(
P_n-\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}
\right)$

が $n$ に依らず一定となることがわかり、

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}P_n
=\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$

と求められる。