福田の数学〜立教大学2021年理学部第３問〜定積分の漸化式と回転体の体積

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問題文全文(内容文)：

3

nを0以上の整数とする。定積分

I_{n} = \int_{1}^{e} \frac{(\log x)^{n}}{x^{2}} d x

について、次の問(1)～(4)に答えよ。ただし、

e

は自然対数の底である。
(1)

I_{0}, I_{1}

の値をそれぞれ求めよ。
(2)

I_{n + 1}

を

I_{n}

と

n

を用いて表せ。
(3)

x > 0

とする。関数

f (x) = \frac{(\log x)^{2}}{x}

の増減表を書け。
ただし、極値も増減表に記入すること。
(4)座標平面上の曲線

y = \frac{(\log x)^{2}}{x}

,　x軸と直線

x = e

とで囲まれた図形を、
x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。

2021立教大学理工学部過去問

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#立教大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

nを0以上の整数とする。定積分

I_{n} = \int_{1}^{e} \frac{(\log x)^{n}}{x^{2}} d x

について、次の問(1)～(4)に答えよ。ただし、

e

は自然対数の底である。
(1)

I_{0}, I_{1}

の値をそれぞれ求めよ。
(2)

I_{n + 1}

を

I_{n}

と

n

を用いて表せ。
(3)

x > 0

とする。関数

f (x) = \frac{(\log x)^{2}}{x}

の増減表を書け。
ただし、極値も増減表に記入すること。
(4)座標平面上の曲線

y = \frac{(\log x)^{2}}{x}

,　x軸と直線

x = e

とで囲まれた図形を、
x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。

2021立教大学理工学部過去問

投稿日：2021.10.08

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問題文全文(内容文)：
等比数列

- 2, 6, - 18, 54, \dots

について、次の問いに答えよ。
（1）
一般項

a_{n}

を求めよ。

（2）
初項から第

n

項までの和

S_{n}

を求めよ。

（3）
初項から第

5

項までの和

S_{5}

を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
2023茨城大学過去問題
一般項

a_{n}

を求めよ

3 a_{n} = S_{n} + n^{2} - 2 n + 1

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

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問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} 一 般 項 a_{n} を 求 め よ \end{array}

\begin{array}{r} (1) 1, 7, 17, 31, 71, \dots \end{array}

\begin{array}{r} (2) 2, 3, 5, 9, 17, \dots \end{array}

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問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1

n a_{a + 1} - (n + 1) a_{n} = 1

一般項を求めよ

出典：長崎大学　過去問

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問題文全文(内容文)：

f (x) = \frac{\log_{x}}{x} (x > 0)

である.

(1)

f^{(n)} (x) = \frac{a_{n} + b_{n} \log x}{x^{n + 1}}

と表される事を示し,漸化式を求めよ.
(2)

h_{n} = \sum_{β = 1}^{n} \frac{1}{k}

を用いて,

a_{n}, b_{n}

の一般項を求めよ.

2005東大過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜立教大学2021年理学部第３問〜定積分の漸化式と回転体の体積

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