【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分置換積分 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
次の定積分を求めよ。
(1)

\int_{- 1}^{0} (x + 2) \sqrt{3 x + 4} d x

(2)

\int_{0}^{4} \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}} d x

(3)

\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x

(4)

\int_{1}^{3} \frac{d x}{x \sqrt{x + 1}}

(5)

\int_{1}^{2} \frac{d x}{e^{x} - 1}

(6)

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{3} x}{\cos^{2} x} d x

次の定積分を求めよ。ただし、

a

は正の定数とする。
(1)

\int_{0}^{1} \sqrt{2 x - x^{2}} d x

(2)

\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{2 x - x^{2}}}

(3)

\int_{1}^{\frac{a}{2}} \frac{d x}{(a^{2} - x^{2})^{\frac{3}{2}}}

(4)

\int_{1}^{2} \frac{d x}{x^{2} - 2 x + 2}

(5)

\int_{3}^{5} \frac{d x}{x^{2} - 4 x + 4}

(6)

\int_{6}^{12} \frac{d x}{x^{2} - 3 x - 10}

(7)

\int_{0}^{a} \frac{d x}{(x^{2} + a^{2})^{2}}

(8)

\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2 x + 1}{x^{2} + 1} d x

次のことが成り立つことを証明せよ。
(1)

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x

(2)

\int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} {f (x) + f (- x)} d x

(3)

\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{a}{2}} {f (x) + f (a - x)} d x

(4)

f (a + x) = f (a - x)

のとき

\int_{a - b}^{a + b} f (x) d x = 2 \int_{a}^{a + b} f (x) d x

チャプター：

0:00 置換積分法を用いた計算問題
14:38 置換積分法を用いた証明問題

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の定積分を求めよ。
(1)

\int_{- 1}^{0} (x + 2) \sqrt{3 x + 4} d x

(2)

\int_{0}^{4} \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}} d x

(3)

\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x

(4)

\int_{1}^{3} \frac{d x}{x \sqrt{x + 1}}

(5)

\int_{1}^{2} \frac{d x}{e^{x} - 1}

(6)

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{3} x}{\cos^{2} x} d x

次の定積分を求めよ。ただし、

a

は正の定数とする。
(1)

\int_{0}^{1} \sqrt{2 x - x^{2}} d x

(2)

\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{2 x - x^{2}}}

(3)

\int_{1}^{\frac{a}{2}} \frac{d x}{(a^{2} - x^{2})^{\frac{3}{2}}}

(4)

\int_{1}^{2} \frac{d x}{x^{2} - 2 x + 2}

(5)

\int_{3}^{5} \frac{d x}{x^{2} - 4 x + 4}

(6)

\int_{6}^{12} \frac{d x}{x^{2} - 3 x - 10}

(7)

\int_{0}^{a} \frac{d x}{(x^{2} + a^{2})^{2}}

(8)

\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2 x + 1}{x^{2} + 1} d x

次のことが成り立つことを証明せよ。
(1)

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x

(2)

\int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} {f (x) + f (- x)} d x

(3)

\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{a}{2}} {f (x) + f (a - x)} d x

(4)

f (a + x) = f (a - x)

のとき

\int_{a - b}^{a + b} f (x) d x = 2 \int_{a}^{a + b} f (x) d x

投稿日：2025.03.12

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = - x e^{x}

を考える。曲線

C : y = f (x)

の点(a, f(a)) における接線を

l_{a}

と
し、接線

l_{a}

とy軸の交点を

(0, g (a))

とおく。以下の問いに答えよ。
(1) 接線

l_{a}

の方程式と

g (a)

を求めよ。
以下、aの関数

g (a)

が極大値をとるときのaの値をbとおく。
(2) bを求め、点

(b, f (b))

は曲線Cの変曲点であることを示せ。
(3) 曲線Cの点

(b, f (b))

における接線

l_{b}

と x軸の交点のx座標cを求めよ。さらに、

c ≦ x ≦ 0

の範囲で曲線Cの概形と接線l_bをxy 平面上に図示せよ。
(4)曲線C、接線

l_{b}

およびy軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。

2022中央大学理工学部過去問

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福田のおもしろ数学363〜定積分の計算

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{π} (1 + 2 x) \frac{\sin^{3} x}{1 + \cos^{2} x} d x

を計算して下さい。

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大学入試問題#479「教科書で紹介されてそう」　山形大学(2016)　微積の応用①

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) = \sin^{2} x + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (t) \cos t d x

を満たす

f (x)

を求めよ。

出典：2016年山形大学　入試問題

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#30　数検1級1次　過去問　複雑な定積分

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#不定積分#定積分#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
定積分

\int_{- 1}^{1} \frac{x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 2}{x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4} d x

を計算せよ。

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大学入試問題#504「ひたすら積分」　#京都工芸繊維大学 (2012)　#定積分

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a > 0

\frac{\int_{1}^{e} l o g (a x) d x}{\int_{1}^{e} x d x} = \int_{1}^{e} \frac{l o g (a x)}{x} d x

を満たすとき

l o g a

の値を求めよ。

出典：2012年京都工芸繊維大学　入試問題

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