福田の数学〜立教大学2023年理学部第3問〜双曲線と直線の囲む面積

問題文全文(内容文)：

3

　座標平面上の曲線Cを
C：

y

\frac{3}{x}

-8　(

x

>0)
で定める。また

p

を正の定数とし、点

(p, \frac{3}{p} - 8)

におけるCの接線を

l

とする。
さらに、

a

を実数とし、直線

y

a x

を

m

とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)

l

の方程式を求めよ。
(2)

l

が原点を通るとき、

p

の値を求めよ。
(3)Cと

m

が異なる2点P,Qを共有するとき、

a

の値の範囲を求めよ。
(4)(3)のとき、Qの

x

座標

x_{0}

はPの

x

座標

x_{1}

よりも大きいとする。

x_{0}

x_{1}

=1であるときの

a

の値を求めよ。
(5)(4)のとき、Cと直線

m

で囲まれる図形の面積を求めよ。

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　座標平面上の曲線Cを
C：

y

\frac{3}{x}

-8　(

x

>0)
で定める。また

p

を正の定数とし、点

(p, \frac{3}{p} - 8)

におけるCの接線を

l

とする。
さらに、

a

を実数とし、直線

y

a x

を

m

とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)

l

の方程式を求めよ。
(2)

l

が原点を通るとき、

p

の値を求めよ。
(3)Cと

m

が異なる2点P,Qを共有するとき、

a

の値の範囲を求めよ。
(4)(3)のとき、Qの

x

座標

x_{0}

はPの

x

座標

x_{1}

よりも大きいとする。

x_{0}

x_{1}

=1であるときの

a

の値を求めよ。
(5)(4)のとき、Cと直線

m

で囲まれる図形の面積を求めよ。

投稿日：2023.07.10

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問題文全文(内容文)：
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問題文全文(内容文)：
双曲線

x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1

と

2

直線

y = 3, y = - 3

で囲まれた部分を、

x

軸、

y

軸のまわりに1回転してできる立体の体積を、それぞれ

V_{1}, V_{2}

とする。

\frac{V_{1}}{V_{2}}

を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(積分と面積③・三角関数編)

Q

0 ≦ x ≦ π

において、次の2曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。

①

y = \sin x

、

y = \cos 2 x

➁

y = \sin x

、

y = \sin 3 x

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問題文全文(内容文)：

C_{1} : y = a x^{3}

と

C_{2} : y = l o g x

は接する。

C_{1}, C_{2}

とx軸で囲まれた図形のx軸中心の回転体の体積Vを求めよ。

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問題文全文(内容文)：

\int_{- π}^{π} \frac{\sin^{2} x}{1 + e^{- x}} d x

を計算せよ。

出典：2021年信州大学　入試問題

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜立教大学2023年理学部第3問〜双曲線と直線の囲む面積

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