問題文全文(内容文)：
I　複数の玉が入った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、$n$ を自然数として、以下の問いに答えよ。

(1)

袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。$n$ 回目の試行において赤玉が取り出される確率を $p_n$ とすると、次式が成り立つ。

$p_2=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}},\qquad
p_3=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$

(2)

袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の玉を袋に戻す試行を繰り返す。$n$ 回目の試行において赤玉が取り出される確率を $P_n$ とすると、次式が成り立つ。

$P_2=\dfrac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}},\qquad
P_3=\dfrac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}$

$n$ 回目の試行開始時点で袋に入っている玉の個数 $M_n$ は
$M_n=n+\boxed{\text{ス}}$
であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数を $R_n$ は
$R_n=M_n\times P_n$
と表される。

$n$ 回目の試行において黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が試行前と比べて
$\boxed{\text{セ}}$
個増えるため、$n+1$ 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は

$R_{n+1}=R_n+(1-P_n)\times \boxed{\text{セ}}$

となる。したがって、

$P_{n+1}
=\dfrac{n+\boxed{\text{ソ}}}{n+\boxed{\text{タ}}}P_n
+\dfrac{1}{n+\boxed{\text{チ}}}$

が成り立つ。このことから、

$(n+3)(n+\boxed{\text{ツ}})
\left(
P_n-\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}
\right)$

が $n$ に依らず一定となることがわかり、

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}P_n
=\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$

と求められる。

問題文全文(内容文)：

$n$は正の整数とする。

$2025n+510$は$20n+2$で割り切れる。

このような$n$をすべて求めよ。
　　　　

問題文全文(内容文)：
A,B,C,D,Eの文字が書かれたカードが1枚ずつある。このカードをよく混ぜて1列に並べるとき、次のような場合の確率を求めよう。
(1)Aが右端にくる。
(2)AとEが両端にくる。
(3)BとCが隣り合う。

問題文全文(内容文)：
円Oの半径が5㎝
点Rの半径が3㎝
線分PCの長さは？
＊図は動画内参照

2022埼玉県

問題文全文(内容文)：
動画内手順1の（Step 1）と（Step 4）により、4点C,G,H,[ウ]は同一円周上にあることが分かる。
よって、$\angle CHG =$[エ]である。
一方、点Eは円Oの周上にあることから、[エ]=[オ]がわかる。
よって、$\angle CHG =$[オ]であるので、4点C,G,H,[カ]は同一円周上にある。
この円が点[ウ]を通ることにより、$\angle OEH =$[アイ]$^{ \circ }$を示すことができる。


[ウ]の解答群
⓪B
①D
②F
③O


[エ]の解答群
⓪$\angle AEC$
①$\angle CDF$
②$\angle CGH$
③$\angle CBO$
④$\angle FOG$


[オ]の解答群
⓪$\angle AED$
①$\angle ADE$
②$\angle BOE$
③$\angle DEG$
④$\angle EOH$


[カ]の解答群
⓪A
①D
②E
③F

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動画内手順2のとき、$\angle PTS =$[キ]である。
円Oの半径が$\sqrt{ 5 }$で、$OT=3 \sqrt{ 6 }$であったとすると、3点O,P,Rを通る円の半径は$\displaystyle \frac{[ク]\sqrt{ [ケ] }}{[コ]}$であり、RT=[サ]である。


[キ]の解答群
⓪$\angle PQS$
①$\angle PST$
②$\angle QPS$
③$\angle QRS$
④$\angle SRT$