問題文全文(内容文)：
【数学的に求める】好きな人と席がとなりになる確率

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$　(1)ある公園に、図のように(※動画参照)10個の丸い椅子が、
東側に5個横一列に、西側に5個一列に、それぞれ1m間隔で置かれている。また東側の
椅子と西側の椅子は2つずつ背中合わせに置かれていて、その間隔は1mとなっている。
Aさんはいつも東側の椅子のいずれかに、Bさんは西側の椅子のいずれかに、
同じ確率で座る。このとき、AさんとBさんの座る日値がソーシャルディスタンスの
2m以上である確率は$\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}$である。
なお、AさんもBさんも椅子の中心に座り、ソーシャルディスタンスは座っている
椅子の中心間の距離で測るものとする。

問題文全文(内容文)：
サイコロをふる
$1\rightarrow:+1$進む
$2～6\rightarrow:+2$進む

原点スタート
$n$回目に偶数上にいる確率を$P_{n}$とする
$P_{n}$を$n$で表せ

問題文全文(内容文)：
集合と部分集合説明動画です

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$\boxed{3}$

$0\lt p\lt 1$とする。

表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である

$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。

・ゲームの開始時点で点数は$0$点

・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
　裏が出たときは点数はそのまま

・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。

$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに

$n$点となっている確率を$Q_n$とする。

(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。

(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。

(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が

成り立つことを示せ。

$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$

必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを

証明なしで使ってもよい。

(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。

$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題