問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および

第$2$次導関数$f''(x)$をもち、

すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。

さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$

このとき、

$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、

関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする

$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。

(2)実数$x$を変数とする関数

$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$

はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。

また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。

(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。

$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し

小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。

$2025$年名古屋大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
05年　山口大学

次の方程式 $x^3-kx+2=0$において$k$ が実数であるときの実数解の個数を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$xy$平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。$x=5\cos t+\cos5t,　y=5\sin t-\sin5t　(-\pi \leqq t \lt \pi)$
以下の問いに答えよ。
(1)区間$0 \lt t \lt \frac{\pi}{6}$において、$\frac{dx}{dt} \lt 0,　\frac{dy}{dx} \lt 0$であることを示せ。
(2)曲線Cの$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{6}$の部分、x軸、直線$y=\frac{1}{\sqrt3}x$で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに$\frac{\pi}{3}$だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
関数 $ \displaystyle y=( \frac{1}{x})^{ \frac{1}{x}}$ $(x \gt e)$の増減を調べよ。

問題文全文(内容文)：
①2つの曲線$y=\dfrac{4}{x},y=x^2+kx$が点$A$で共通接線をもつように、
定数$k$の値を求めよ。

②2つの曲線$y=e^x,y=\log(x+2)$の共通接線の方程式を求めよ。