問題文全文(内容文)：
共通対策「数学で９割超える勉強法」についてお話しています。

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}5\mathrm{問}$
点$Z$を端点とする半直線$ZX$と半直線$ZY$があり、$0°<\mathrm{\angle }XZY<90°$とする。
また、$0°<\mathrm{\angle }SZX<\mathrm{\angle }XZY$かつ$0°<\mathrm{\angle }SZY<\mathrm{\angle }XZY$を満たす点$S$をとる。
点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円を作図したい。
円$O$を、次の$(Step1)～(Step5)$の手順で作図する。

手順
$(Step1) \mathrm{\angle }XZY$の二等分線$l$上に点$C$をとり、下図(※動画参照)のように半直線$ZX$
と半直線$ZY$の両方に接する円$C$を作図する。また、円$C$と半直線$ZX$との接点を$D,$
半直線$ZY$との接点を$E$とする。
$(Step2)$　円Cと直線$ZS$との交点の一つを$G$とする。
$(Step3)$　半直線$ZX$上に点$H$を$DG//HS$を満たすようにとる。
$(Step4)$　点$H$を通り、半直線$ZX$に垂直な直線を引き、$l$との交点を$O$とする。
$(Step5)$　点$O$を中心とする半径$OH$の円$O$をかく。

(1)$(Step1)～(Step5)$の手順で作図した円$O$が求める円であることは、次の構想に
基づいて下のように説明できる。

構想:円$O$が点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円であることを
示すには、$OH=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$が成り立つことを示せばよい。

作図の手順より、$\mathrm{△}ZDG$と$\mathrm{△}ZHS$との関係、および$\mathrm{△}ZDC$と$\mathrm{△}ZHO$との
関係に着目すると
$DG:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$
$DC:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$

であるから、$DG:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}=DC:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$となる。
ここで、3点$S,O,H$が一直線上にある場合は、$\mathrm{\angle }CDG=\mathrm{\angle }\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}$で
あるので、$\mathrm{△}CDG$と$\mathrm{△}\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}$との関係に着目すると、$CD=CG$より
$OH=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$であることがわかる。
なお、3点$S,O,H$が一直線上にある場合は、$DG=\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}DC$となり、
$DG:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}=DC:\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$より$OH=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}$である
ことがわかる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}～\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$DH$　①$HO$　②$HS$　③$OD$　④$OG$
⑤$OS$　⑥$ZD$　⑦$ZH$　⑧$ZO$　⑨$ZS$

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}$の解答群
⓪$OHD$　①$OHG$　②$OHS$　③$ZDS$
④$ZHG$　⑤$ZHS$　⑥$ZOS$　⑦$ZCG$


(2)点$S$を通り、半直線$ZX$と半直線$ZY$の両方に接する円は二つ作図できる。
特に、点$S$が$\mathrm{\angle }XZY$の二等分線$l$上にある場合を考える。半径が大きい方の
円の中心を$O_1$とし、半径が小さい方の円の中心を$O_2$とする。また、円$O_2$と
半直線$ZY$が接する点を$I$とする。円$O_1$と半直線$ZY$が接する点を$J$とし、円$O_1$と
半直線$ZX$が接する点を$K$とする。
作図をした結果、円$O_1$の半径は$5$,　円$O_2$の半径は3であったとする。このとき、
$IJ=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}}$である。さらに、円$O_1$と円$O_2$の接点$S$に
おける共通接線と半直線$ZY$との交点を$L$とし、
直線$LK$と円$O_1$との交点で点$K$とは異なる点を$M$とすると

$LM\mathrm{・}LK=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}$

である。
また、$ZI=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}}$であるので、直線$LK$と直線$l$との交点を$N$とすると

${\displaystyle \frac{LN}{NK}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}, SN={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}}}}}$

である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$x=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$

$y=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$　のとき、次の値を求めよ。

(1)$x+y$
(2)$xy$
(3)$x^2+y^2$
(4)$x^3+y^3$
(5)$x^4+y^4$
(6)$x^5+y^5$


$x=\sqrt{5}+2$のとき、次の値を求めよ。
(1)$x+\frac{1}{x}$

(2)$x^2+\frac{1}{x^2}$

(3)$x^3+\frac{1}{x^3}$

(4)$x^4+\frac{1}{x^4}$

(5)$x^5+\frac{1}{x^5}$


$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$の整数部分を$a$,少数部分を$b$とする。次の値を求めよ。
(1)$a$
(2)$b$
(3)$a+b+b^2$

問題文全文(内容文)：
$x^7=1,x\ne 1$のとき、
${\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}+{\displaystyle \frac{x^2}{1+x^4}}+{\displaystyle \frac{x^3}{1+x^6}}+{\displaystyle \frac{x^4}{1+x}}+$
${\displaystyle \frac{x^5}{1+x^3}}+{\displaystyle \frac{x^6}{1+x^5}}$の値を求めよ.