問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}5\mathrm{問}$
1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さをaとする。
(1)1辺の長さが1の正五角形$O{A}_1{B}_1{C}_1{A}_2$を考える。

$\mathrm{\angle }{A}_1{C}_1{B}_1=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}°$、$\mathrm{\angle }{C}_1{A}_1{A}_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}°$となることから、$\overrightarrow{A_1{A}_2}$と
$\overrightarrow{B_1{C}_1}$は平行である。ゆえに
$\overrightarrow{A_1{A}_2}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\overrightarrow{B_1{C}_1}$
であるから
$\overrightarrow{B_1{C}_1}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}\overrightarrow{A_1{A}_2}}$$={\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}(\overrightarrow{O{A}_2}-\overrightarrow{O{A}_1})}$
また、$\overrightarrow{O{A}_1}$と$\overrightarrow{A_2{B}_1}$は平行で、さらに、$\overrightarrow{O{A}_2}$と$\overrightarrow{A_1{C}_1}$も平行であることから
$\overrightarrow{B_1{C}_1}=\overrightarrow{B_1{A}_2}+\overrightarrow{A_{2}O}+\overrightarrow{O{A}_1}+$$\overrightarrow{A_1{C}_1}$$=-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\overrightarrow{O{A}_1}-\overrightarrow{O{A}_2}$$+\overrightarrow{O{A}_1}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\overrightarrow{O{A}_2}$$=(\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}})$$(\overrightarrow{O{A}_2}-\overrightarrow{O{A}_1})$
となる。したがって
${\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}$
が成り立つ。$a>0$に注意してこれを解くと、$a={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$を得る。


(2)下の図(※動画参照)のような、1辺の長さが1の正十二面体を考える。正十二面体とは、
どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっている
へこみのない多面体のことである。

面$O{A}_1{B}_1{C}_1{A}_2$に着目する。$\overrightarrow{O{A}_1}$と$\overrightarrow{A_2{B}_1}$が平行であることから
$\overrightarrow{O{B}_1}=\overrightarrow{O{A}_2}+\overrightarrow{A_2{B}_1}$$=\overrightarrow{O{A}_2}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\overrightarrow{O{A}_1}$
である。また
$|\overrightarrow{O{A}_2}-\overrightarrow{O{A}_1}{|}^2=|\overrightarrow{A_1{A}_2}{|}^2$$={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}+\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$
に注意すると
$\overrightarrow{O{A}_1}\mathrm{・}\overrightarrow{O{A}_2}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}-\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$
を得る。

次に、面OA_2B_2C_2A_2に着目すると
$\overrightarrow{O{B}_2}=\overrightarrow{O{A}_3}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\overrightarrow{O{A}_2}$
である。さらに
$\overrightarrow{O{A}_2}\mathrm{・}\overrightarrow{O{A}_3}=\overrightarrow{O{A}_3}\mathrm{・}\overrightarrow{O{A}_1}$$=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}-\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}$
が成り立つことがわかる。ゆえに
$\overrightarrow{O{A}_1}\mathrm{・}\overrightarrow{O{B}_2}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}},$$\overrightarrow{O{B}_1}\mathrm{・}\overrightarrow{O{B}_2}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$
である。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}, \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$
①$1$
②$-1$
③${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$
④${\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$
⑤${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$
⑥${\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}}$
⑦$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
⑧${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$
⑨${\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{4}}$


最後に、面$A_2{C}_{1}DE{B}_2$に着目する。
$\overrightarrow{B_{2}D}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\overrightarrow{A_2{C}_1}=\overrightarrow{O{B}_1}$
であることに注意すると、4点$O,B_1,D,B_2$は同一平面上にあり、四角形
$O{B}_{1}D{B}_2\mathrm{は}\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}$ことがわかる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}$の解答群
⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②正方形ではないが、ひし形である
③長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である
④平行四辺形ではないが、台形である
⑤台形でない

(ただし、少なくとも1組の対辺が平行な四角形を台形という)

2021共通テスト過去問