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$\Large\boxed{5}$ 四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$とおき、次が成り立つとする。
$\angle$AOB=60°, |$\overrightarrow{a}$|=2, |$\overrightarrow{b}$|=3, |$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt 6$, $\overrightarrow{b}$・$\overrightarrow{c}$=3
ただし、$\overrightarrow{b}$・$\overrightarrow{c}$は、2つのベクトル$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積を表す。さらに、線分OCと線分ABは垂直であるとする。点Cから3点O, A, Bを含む平面に下ろした垂線をCHとし、点Oから3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線をOKとする。
(1)$\overrightarrow{a}$・$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$・$\overrightarrow{a}$を求めよ。
(2)ベクトル$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ。
(3)ベクトル$\overrightarrow{c}$とベクトル$\overrightarrow{HK}$は平行であることを示せ。

2023東北大学理系過去問

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正射影ベクトルについて解説します！

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$a=\sqrt3,b=5,a-b=\sqrt5$のとき、内積a・bを求めよ.

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次の曲面上の点における接平面の方程式を求めよ.

(1)$z=x^2+2y^2 \ (1,1,3)$
(2)$z=\sqrt{5-x^2y^2} \ (1,2,1)$

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問題1
$\triangle \rm{ABC}$において、$\rm{AB}=3,AC=2, \angle A=60^{ \circ }$，外心を$\rm{O}$とする。$\overrightarrow{{\textrm{AB}}}=\vec{b},\overrightarrow{{\textrm{AC}}}=\vec{c}$とするとき、$\overrightarrow{{\textrm{AO}}}$を$\vec{b},\vec{c}$を用いて表せ。

問題2
平行四辺形$\rm{ABCD}$において、次の等式が成り立つことを証明せよ。
$\rm{2(AB^2+BC^2)＝AC^2＋BD^2}$

問題3
$\triangle \rm{ABC}$の辺$\rm{BC}$を1:2に内分する点を$\rm{D}$とする。このとき、等式$\rm{2AB^2+AC^2=3(AD^2+2BD^2)}$が成り立つことを証明せよ。