単元：
#大学入試過去問(数学)#確率分布と統計的な推測#確率分布#センター試験・共通テスト関連#センター試験#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第5問}\\
ある市の市立図書館の利用状況について調査を行った。\\
\\
(1)ある高校の生徒720人全員を対象に、ある1週間に市立図書館で借りた本の\\
冊数について調査を行った。\\
その結果、1冊も借りなかった生徒が612人、1冊借りた生徒が54人、\\
2冊借りた生徒が36人であり、3冊借りた生徒が18人であった。\\
4冊以上借りた生徒はいなかった。\\
\\
この高校の生徒から1人を無作為に選んだ時、その生徒が借りた本の冊数\\
を表す確率変数をXとする。\\
\\
このとき、Xの平均(期待値)はE(X)=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}であり、X^2の平均は\\
E(X^2)=\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}である。よって、Xの標準偏差は\\
\sigma(X)=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}}{\boxed{\ \ カ\ \ }}である。\\
\\
(2)市内の高校生全員を母集団とし、ある1週間に市立図書館を利用した生徒の\\
割合(母比率)をpとする。この母集団から600人を無作為に選んだ時、その\\
1週間に市立図書館を利用した生徒の数を確率変数Yで表す。\\
\\
p=0.4のとき、Yの平均はE(Y)=\boxed{\ \ キクケ\ \ }、標準偏差は\sigma(Y)=\boxed{\ \ コサ\ \ }\\
になる。ここで、Z=\frac{Y-\boxed{\ \ キクケ\ \ }}{\boxed{\ \ コサ\ \ }}とおくと、標本数600は\\
十分に大きいので、Zは近似的に標準正規分布に従う。このことを利用して、\\
Yが215以下となる確率を求めると、その確率は0.\boxed{\ \ シス\ \ }になる。\\
\\
また、p=0.2のとき、Yの平均は\boxed{\ \ キクケ\ \ }の\frac{1}{\boxed{\ \ セ\ \ }}倍、\\
標準偏差は\boxed{\ \ コサ\ \ }の\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}}{3}倍である。\\
\\
(3)市立図書館に利用者登録のある高校生全員を母集団とする。1回あたりの\\
利用時間(分)を表す確率変数をWとし、Wは母平均m,母標準偏差30の分布\\
に従うとする。この母集団から大きさnの標本W_1,W_2,\ldots,W_nを無作為に\\
抽出した。\\
利用時間が60分をどの程度超えるかについて調査するために\\
U_1=W_1-60, U_2=W_2-60, \ldots, U_n=W_n-60 \\
とおくと、確率変数U_1,U_2, \cdots, U_nの平均と標準偏差はそれぞれ\\
E(U_1)=E(U_2)=\cdots=E(U_n)=m-\boxed{\ \ タチ\ \ }\\
\sigma(U_1)=\sigma(U_2)=\cdots=\sigma(U_n)=\boxed{\ \ ツテ\ \ } \\
である。\\
\\
ここで、t=m-60として、tに対する信頼度95％の信頼区間を求めよう。\\
この母集団から無作為抽出された100人の生徒に対してU_1,U_2, \cdots,U_mの\\
値を調べたところ、その標本平均の値が50分であった。標本数は十分大きい\\
ことを利用して、この信頼区間を求めると\\
\boxed{\ \ トナ\ \ }.\boxed{\ \ ニ\ \ } \leqq t \leqq \boxed{\ \ ヌネ\ \ }.\boxed{\ \ ノ\ \ }\\
になる。
\end{eqnarray}
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