問題文全文(内容文)：
第3問
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて43ページの正規分布表を用いてもよい。
(1)ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし、この母集団におけるピーマン1個の重さ(単位はg)を表す確率変数をXとする。mとσを正の実数とし、Xは正規分布N(m, ${\sigma }^2$)に従うとする。
(i)この母集団から1個のピーマンを無作為に抽出したとき、重さがm g以上である確率P(X≧m)は
P(X≧m)=P$(\frac{X-m}{\sigma }\geqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}})$=$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}$
である。
(ii)母集団から無作為に抽出された大きさnの標本$X_1$, $X_2$, ..., $X_n$の標本平均を$\overline{X}$とする。$\overline{X}$の平均(期待値)と標準偏差はそれぞれ
E($\overline{X}$)=$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$,　σ($\overline{X}$)=$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$
となる。
n=400,　標本平均が30.0g,　標本の標準偏差が3.6gのとき、mの信頼度90%の信頼区間を次の方針で求めよう。
方針：Zを標準正規分布N(0,1)に従う確率変数として、P($-z_0\leqq Z\leqq z_0$)=0.901 となる$z_0$を正規分布表から求める。この$z_0$を用いるとmの信頼度90.1%の信頼区間が求められるが、これを信頼度90%の信頼区間とみなして考える。
方針において、$z_0$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$.$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}$である。
一般に、標本の大きさnが大きいときには、母標準偏差の代わりに、標本の標準偏差を用いてよいことが知られている。n=400は十分に大きいので、方針に基づくと、mの信頼度90%の信頼区間は$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$となる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}, \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪σ　①${\sigma }^2$　②$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$　③$\frac{{\sigma }^2}{n}$
④m　⑤2m　⑥$m^2$　⑦$\sqrt{m}$　
⑧$\frac{\sigma }{n}$　⑨$n\sigma$ⓐ$nm$　ⓑ$\frac{m}{n}$
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪28.6≦m≦31.4　①28.7≦m≦31.3　②28.9≦m≦31.1　
③29.6≦m≦30.4　④29.7≦m≦30.3　⑤29.9≦m≦30.1
(2)(1)の確率変数Xにおいて、m=30.0, σ=3.6とした母集団から無作為にピーマンを1個ずつ抽出し、ピーマン2個を1組にしたものを袋に入れていく。このようにしてピーマン2個を1組にしたものを25袋作る。その際、1袋ずつの重さの分数を小さくするために、次のピーマン分類法を考える。
ピーマン分類法：無作為に抽出したいくつかのピーマンについて、重さが30.0g以下のときをSサイズ、30.0gを超えるときはLサイズと分類する。そして、分類されたピーマンからSサイズとLサイズのピーマンを一つずつ選び、ピーマン2個を1組とした袋を作る。
(i)ピーマンを無作為に50個抽出した時、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率$p_0$を考えよう。無作為に1個抽出したピーマンがSサイズである確率は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}$である。ピーマンを無作為に50個抽出したときのSサイズのピーマンの個数を表す確率変数を$U_0$とすると、$U_0$は二項分布$B(50,\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}})$に従うので
$p_0$=${}_{50}{C}_{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}\mathrm{ス}}}}\times {\left(\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}\right)}^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}\mathrm{ス}}}}\times {(1-\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}})}^{50-\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}\mathrm{ス}}}}$
となる。
$p_0$を計算すると、$p_0$=0.1122...となることから、ピーマンを無作為に50個抽出したとき、25袋作ることができる確率は0.11程度とわかる。
(ii)ピーマン分類法で25袋作ることができる確率が0.95以上となるようなピーマンの個数を考えよう。
kを自然数とし、ピーマンを無作為に(50+k)個抽出したとき、Sサイズのピーマンの個数を表す確率変数を$U_k$とすると、$U_k$は二項分布$B(50+k,\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}})$に従う。
(50+k)は十分に大きいので、$U_k$は近似的に正規分布$N(\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}},\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}})$に従い、$Y=\frac{U_k-\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}}{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}}}$とすると、Yは近似的に標準正規分布N(0,1)に従う。
よって、ピーマン分類法で、25袋作ることができる確率を$p_k$とすると
$p_k$=$P(25\leqq U_k\leqq 25+k)$=$P(-\frac{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}}{\sqrt{50+k}}\leqq Y\leqq \frac{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}}{\sqrt{50+k}})$
となる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}$=a, $\sqrt{50+k}$=$\beta$とおく。
$p_k$≧0.95になるような$\frac{\alpha }{\beta }$について、正規分布表から$\frac{\alpha }{\beta }$≧1.96を満たせばよいことが分かる。ここでは
$\frac{\alpha }{\beta }$≧2　...①
を満たす自然数kを考えることとする。①の両辺は正であるから、${\alpha }^2$≧4${\beta }^2$を満たす最小のkを$k_0$とすると、$k_0$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}}}$であることがわかる。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}}}$の計算においては、$\sqrt{51}=7.14$を用いてもよい。
したがって、少なくとも(50+$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}}}$)個のピーマンを抽出しておけば、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率は0.95以上となる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}$～$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪k　①2k　②3k　③$\frac{50+k}{2}$
④$\frac{25+k}{2}$　⑤25+k　⑥$\frac{\sqrt{50+k}}{2}$　⑦$\frac{50+k}{4}$

2023共通テスト過去問

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