問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$放物線$C:y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$　$(a \gt 0)$における法線lの方程式を$y=f(x)$
とおくと、$f(x)=\boxed{\ \ ア\ \ }$となる。またCとlの交点のうちPと異なる方の点Qを
求めると、$Q(\boxed{\ \ イ\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ }^2)$となる。以下、Cとlで囲まれた部分をDとし、
Dをlの周りに1回転して得られる回転体の体積$V(a)$を求める。Dに含まれるl上
の点を$R(t,\ f(t))$　$(\boxed{\ \ イ\ \ }$ $\leqq t \leqq a)$とおく。Rを通りlに垂直な直線は
$y=2a(x-t)+f(t)$で与えられる。この直線と$y=x^2$の2つの交点のうち
Dに含まれる方の点Sのx座標は$x=a-\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t}$ となる。このとき
線分RSの長さ$r=g(t)$は$g(t)=\boxed{\ \ エ\ \ }(t-a+\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t})$となる。
線分QRの長さ$s=h(t)$は$h(t)=\boxed{\ \ オ\ \ }(t-\boxed{\ \ イ\ \ })$で与えられるので、
$V(a)=\pi\int_0^{h(a)}r^2ds=\pi\int_{\boxed{イ}}^a\left\{g(t)\right\}^2h'(t)dt$
$=\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_{\boxed{イ}}^a(a-t)(-\sqrt{a-t}+\boxed{\ \ ウ\ \ })^2dt$
となる。ここで$u=\sqrt{a-t}$とおいて置換積分を行えば
$V(a)=2\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_0^{\boxed{ウ}}\left\{u^5-2\boxed{\ \ ウ\ \ }u^4+(\boxed{\ \ ウ\ \ })^2u^3\right\}du=\boxed{\ \ カ\ \ }$
が求まる。さらに、$a \gt 0$の範囲で$a$を動かすとき、$\lim_{a \to +0}V(a)=\lim_{a \to \infty}V(a)=\infty$
であり、$V(a)$を最小にするaの値は$a=\boxed{\ \ キ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ ア\ \ }$の解答群
ⓐ$-\frac{2}{a}(x-a)+a^2$　ⓑ$-\frac{1}{a}(x-a)+a^2$　ⓒ$-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2$　ⓓ$-2a(x-a)+a^2$

$\boxed{\ \ イ\ \ }～\ \boxed{\ \ オ\ \ }$の解答群
ⓐ$-\frac{a^2-1}{a}$　ⓑ$-\frac{2a^2-1}{2a}$　ⓒ$-\frac{a^2+1}{a}$　ⓓ$-\frac{2a^2+1}{2a}$
ⓔ$\frac{\sqrt{a^2+4}}{2}$　ⓕ$\sqrt{a^2+1}$　ⓖ$\sqrt{4a^2+1}$　ⓗ$2a$
ⓘ$\frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a}$　ⓙ$\frac{\sqrt{a^2+4}}{a}$　ⓚ$\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}$　ⓛ$\frac{\sqrt{a^2+1}}{2a}$
ⓜ$\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}}$ ⓝ$\sqrt{\frac{4a^2+1}{2a}}$　ⓞ$\sqrt{\frac{2a^2+1}{a}}$　ⓟ$\sqrt{\frac{4a^2+1}{a}}$

$\boxed{\ \ カ\ \ }$の解答群
$ⓐ\frac{(2a^2+1)^3(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi　ⓑ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{120a^4}\ \pi　ⓒ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi$
$ⓓ\frac{(2a^2+1)^3(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi　ⓔ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{480a^4}\ \pi　ⓕ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi$
$ⓖ\frac{(a^2+1)^2(4a^2+1)^2}{120a^{\frac{7}{2}}}\ \pi　ⓗ\frac{(4a^2+1)^4}{480\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi　ⓘ\frac{(4a^2+1)^4}{120\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi$

$\boxed{\ \ キ\ \ }$の解答群
$ⓐ\frac{1}{\sqrt5}　ⓑ\frac{1}{\sqrt2}　ⓒ1　ⓓ\sqrt2　ⓔ\frac{2}{\sqrt5}　ⓕ4$

2021中央大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 点Oを原点とする座標平面上の$\overrightarrow{0}$でない2つのベクトル
$\overrightarrow{m}$=($a$, $c$), $\overrightarrow{n}$=($b$, $d$)
に対して、D=ad-bc とおく。座標平面上のベクトル$\overrightarrow{q}$に対して、次の条件を考える。
条件Ⅰ　$r\overrightarrow{m}$+$s\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{q}$を満たす実数r, sが存在する。
条件Ⅱ　$r\overrightarrow{m}$+$s\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{q}$を満たす整数r, sが存在する。
以下の問いに答えよ。
(1)条件Ⅰがすべての$\overrightarrow{q}$に対して成り立つとする。D $\ne$ 0であることを示せ。
以下、D $\ne$ 0であるとする。
(2)座標平面上のベクトル$\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$で
$\overrightarrow{m}・\overrightarrow{v}$=$\overrightarrow{n}・\overrightarrow{w}$=1,　$\overrightarrow{m}・\overrightarrow{w}$=$\overrightarrow{n}・\overrightarrow{v}$=0
を満たすものを求めよ。
(3)さらにa, b, c, dが整数であるとし、x成分とy成分がともに整数であるすべてのベクトル$\overrightarrow{q}$に対して条件Ⅱが成り立つとする。Dのとりうる値をすべて求めよ。

2023九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす係数が整数の多項式 $f(x)$ を考える。
(I) $f(0)$ は4で割り切れない。
(II) 方程式$f(x) = 0 $は$ x = 1 $で重解をもつ。
(III) 方程式$f(x)=x(x-1)(x-2)$ は異なる整数解をもつ。
このとき、$f(4)$ を36で割ったときの余りを求めよ。

2023浜松医科大学医過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$実数からなる集合A,B,Cを次のように定義する。ただし、$a \gt 0$
$A=\left\{x |\ |x| \lt a \right\}$
$B=\left\{x |\ (x+2)(x-5)(x^2+2x-7) \leqq 0 \right\}$
$C=\left\{x |\ 3^{\frac{x}{3}} \leqq \frac{1}{3}(x+4) \right\}$

(1)$A \cap B$が空集合であるための必要十分条件は$a \boxed{\ \ お\ \ } \ \boxed{\ \ \alpha\ \ }$である。
(2)$A \supset B$であるための必要十分条件は$a \boxed{\ \ か\ \ } \ \boxed{\ \ \beta\ \ }$である。

$\boxed{\ \ お\ \ },\ \boxed{\ \ か\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})=　(\textrm{b})\lt　 (\textrm{c})\leqq　 (\textrm{d})\gt　 (\textrm{e})\geqq　(\textrm{f})\neq$
$\boxed{\ \ \alpha\ \ },\ \boxed{\ \ \beta\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})1　(\textrm{b})2　 (\textrm{c})3　 (\textrm{d})5　 (\textrm{e})7　(\textrm{f})10$
($\textrm{g})-1+2\sqrt2　(\textrm{h})1+2\sqrt2　(\textrm{i})-2+\sqrt7　(\textrm{j})2+\sqrt7$

(3)$-1 \boxed{\ \ き\ \ }C$であり、$5 \boxed{\ \ く\ \ }C$である。
$\boxed{\ \ き\ \ },\ \boxed{\ \ く\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})\in　(\textrm{b})\notin　(\textrm{c})\ni　(\textrm{d})∋　(\textrm{e})=　(\textrm{f})\subset　(\textrm{g})\supset$
(4)Cに属する整数は$\boxed{\ \ オ\ \ }$個ある。
(5)$A \subset C$となるaのうち、整数で最大のものは$\boxed{\ \ カ\ \ }$である。
(6)$A \supset C$となるaのうち、整数で最小のものは$\boxed{\ \ キ\ \ }$である。

2021上智大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{}^{} \dfrac{dx}{(x^2-1)^2}$を解け.

1937京都帝国大学過去問題