問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 5}}$　座標平面上で、原点$O$を通り、$\overrightarrow{u}=(\cos \theta , \sin \theta )$を方向ベクトルとする直線を
lとおく。ただし、$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$とする。

(1)$\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする。直線lの法線ベクトルで、$y$成分が正であり、大きさが
1のベクトルを$\overrightarrow{n}$とおく。点$P(1,1)$に対し、$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{n}$と表す。$a=\cos \theta ,$
$b=\sin \theta$として、$s,t$のそれぞれを$a,b$についての1次式で表すと、$s=\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}},$
$t=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}$である。
点$P(1,1)$から直線lに垂線を下ろし、直線$l$との交点を$Q$とする。ただし、点$P$
が直線$l$上にあるときは、点$Q$は$P$とする。以下では$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$とする。

(2)線分$PQ$の長さは、$\theta =\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}$のとき最大となる。
さらに、点$R(-3,1)$から直線$l$に垂線を下ろし、直線$l$との交点を$S$とする。
ただし、点$R$が直線$l$上にあるときは、点$S$は$R$とする。

(3)線分$QS$を$1:3$に内分する点を$T$とおく。$\theta$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$を満たしながら
動くとき、点$T(x,y)$が描く軌跡の方程式は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}=0$である。

(4)$P{Q}^2+R{S}^2$の最大値は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}$である。

2021慶應義塾大学理工学部過去問