福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜軌跡(3)媒介変数表示の点、高校2年生

問題文全文(内容文)：

1

　次の媒介変数表示で表された点

P (x, y)

の軌跡を求めよ。

(1)

x = \frac{\cos θ + \sin θ}{\sqrt{2}},

y = \frac{\cos θ - \sin θ}{\sqrt{2}}

　(

θ

は任意の実数)

(2)

x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}},

y = \frac{2 t}{1 + t^{2}}

　(

t

は任意の実数)

単元： #数Ⅱ#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

　次の媒介変数表示で表された点

P (x, y)

の軌跡を求めよ。

(1)

x = \frac{\cos θ + \sin θ}{\sqrt{2}},

y = \frac{\cos θ - \sin θ}{\sqrt{2}}

　(

θ

は任意の実数)

(2)

x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}},

y = \frac{2 t}{1 + t^{2}}

　(

t

は任意の実数)

投稿日：2018.08.17

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} {\begin{cases} x = θ - \sin θ \\ y = 1 - \cos θ \end{cases} \end{array} (0 ≦ θ ≦ 2 π)

で表される曲線をCとする。

(1)Cとx軸で囲まれる部分の領域をDとする。Dの面積Sを求めよ。
(2)Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。

\begin{array}{r} {\begin{cases} x = t^{2} + 1 \\ y = 2 - t - t^{2} \end{cases} \end{array} (- 2 ≦ t ≦ 1)

で表される曲線とx軸で囲まれた面積を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

x y

平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。

x = 5 \cos t + \cos 5 t, y = 5 \sin t - \sin 5 t (- π ≦ t < π)

以下の問いに答えよ。
(1)区間

0 < t < \frac{π}{6}

において、

\frac{d x}{d t} < 0, \frac{d y}{d x} < 0

であることを示せ。
(2)曲線Cの

0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}

の部分、x軸、直線

y = \frac{1}{\sqrt{3}} x

で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに

\frac{π}{3}

だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

2022九州大学理系過去問

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数列

III

　微分(3)　媒介変数表示

x = a (θ - \sin θ), y = a (1 - \cos θ)

のとき、

\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

を

θ

で表せ。

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a, b

は実数であり,

b \neq 0

である.

O (0, 0) . P (1, 0), Q (a, b)

(1)

△ O P Q

が鋭角三角形になる

a, b

の条件を不等式で表せ.
(2)

m, n

整数,

a, b

は(1)の条件を満たすとき,

(m + n a)^{2} - (m + n a) + n^{2} b^{2} ≧ 0

を示せ.

1998東大過去問

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

接線(2)　媒介変数表示の接線

{\begin{matrix} x = θ - \sin θ \\ y = 1 - \cos θ \end{matrix}

で表される曲線の

θ = \frac{3 π}{2}

のときの点Pにおける接線を求めよ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜軌跡(3)媒介変数表示の点、高校2年生

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