問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。なお、${}_n \mathrm{ C }_r$は二項係数を表す。
(1) AさんとBさんが将棋の対局を繰り返し行い、先に3回勝った方が優勝するものとする。AさんがBさんに1回の対局で勝つ確率は$p$であるとする。また各対局において引き分けはないものとする。このとき、Aさんが優勝する確率を$p$の式として表せ。
(2) (1) において $p = 0.75$ であるときに、Aさんが優勝する確率を、小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ。
(3) (1) において「先に3回」を「先に$N$回」 ($N$は2以上の自然数)にしたときの Aさんが優勝する確率を$p$と$N$の式として表せ。必要ならば和の記号$\sum$や二項係数${}_n \mathrm{ C }_r$を用いてもよい。
(4) すべての自然数$m$について
$\displaystyle \sum_{k=1}^m \displaystyle \frac{{}_{m+k} \mathrm{ C }_k}{2^k} = 2^m-1$
であることを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
Aの袋には白玉3個と赤玉2個、Bの袋には白玉2個と赤玉3個、Cの袋には白玉1個と赤玉4個が入っている。1個のさいころを投げて1の目が出たらAの袋を、2,3の目が出たらBの袋を、4～6の目が出たらCの袋を選び、1個の玉を取り出すものとする。取り出された玉が白玉であったとき、それがCの袋から取り出された玉である確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$AB=AC=1,\ BC=a$の二等辺三角形$ABC$の内接円を$I$、外接円を$O$とする。
ただし、$0 \lt a \lt \sqrt2$ である。また、三角形$ABC$と円$I$の3つの接点を頂点とする
三角形を$T$、3点$A,\ B,\ C$で円$O$に外接する三角形を$U$とする。次の問いに答えよ。
(1)三角形$T$の、$BC$に平行な辺の長さ$t$を$a$で表せ。
(2)三角形$U$の、$BC$に平行な辺の長さ$u$を$a$で表せ。
(3)$\frac{t}{u}=p$とする。$p$が最大となる$a$の値と、そのときの$p$の値を求めよ。

2022早稲田大学社会科学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$自然数$a$を3で割った余りを$r(r=0,1,2)$とする.以下の問いに答えよ.
(1)以下を求めよ.
(ア)$r=0$のとき,$a^3+4$を3で割った余り
(イ)$r=1$のとき,$a^3+4$を3で割った余り
(ウ)$r=2$のとき,$a^3+4$を3で割った余り

(2)3つの自然数$a,a^3+4,a^5+8$のうちいずれか1つは3の倍数であることを示せ.

(3)3つの自然数$a,a^3+4,a^5+8$が同時に素数となる$a$をすべて求めよ.

2021中央大理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$n^3-7n+9$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ。