大学入試問題#165 神戸大学(2021) ウォリス積分 - 質問解決D.B.（データベース）

大学入試問題#165　神戸大学(2021)　ウォリス積分

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} d x

を求めよ。
（ウォリス積分）

出典：2021年神戸大学　入試問題

チャプター：

00:20~普通の倍角の公式を利用した解答
03:57~ウォリス積分の公式を利用した解答
05:42~ウォリス積分の例題

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} d x

を求めよ。
（ウォリス積分）

出典：2021年神戸大学　入試問題

投稿日：2022.04.10

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問題文全文(内容文)：

a > 1

I (a) = \int_{0}^{π} \frac{a \sin θ}{(a^{2} - 2 a \cos θ + 1)^{\frac{3}{2}}} d θ

I (a)

を求めよ。
2.

\sum_{n = 2}^{\infty} I (n)

の値を求めよ。

出典：1997年千葉大学

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

　曲線y=

\log x

上の点A(t,

\log t

)における法線上に、点BをAB=1となるようにとる。ただしBのx座標はtより大きい。
(1)点Bの座標(u(t), v(t))を求めよ。また

(\frac{d u}{d t}, \frac{d v}{d t})

を求めよ。
(2)実数rは0＜r＜1を満たすとし、tがrから1まで動くときに点Aと点Bが描く曲線の長さをそれぞれ

L_{1} (r)

L_{2} (r)

とする。このとき、極限

lim_{r \to + 0} (L_{1} (r) - L_{2} (r))

を求めよ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{1} \frac{1 - x}{(1 + x^{2})^{2}} d x

を計算せよ。

出典：2009年岡山県立大学　入試問題

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

関数f(x)を

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t^{2}}

と定める。
(1)t=

\tan θ

とおく置換積分により

f (1) = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t^{2}}

の値を求めよ。
(2)0

<

α

<

1とし、mを自然数とするとき、以下の不等式が成り立つことを示せ。

f (a) \int_{a}^{1} x^{m} d x

<

\int_{a}^{1} f (x) x^{m} d x

<

\int_{0}^{1} f (x) x^{m} d x

<

f (1) \int_{0}^{1} x^{m} d x

(3)

lim_{m \to \infty} {(1 - \frac{1}{\sqrt{m}})}^{m}

を求めよ。必要ならばs ＞1のとき

{(1 - \frac{1}{s})}^{s} < \frac{1}{2}

となることを用いてよい。
(4)

lim_{m \to \infty} m \int_{1 - \frac{1}{\sqrt{m}}}^{1} f (x) x^{m} d x

を求めよ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(1)

x ≧ 1

e^{x} ＞ x^{2}

を示せ
(2)

lim_{x \to \infty} \int_{1}^{x} t e^{- t} d t

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