問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$　$A,B$の2人がサイコロを使って次のようなルールでゲームを行う。
先に1を出した方を勝ちとして終了する。
$(\text{i})A$が1回目にサイコロを投げる
$(\text{ii})A$がサイコロを投げて1,2以外が出たときは、次の回はBがサイコロを投げる。
$(\text{iii})A$がサイコロを投げて1,2以外が出たときは、次の回はBがサイコロを投げる。
$(\text{iv})B$がサイコロを投げて1,2,3以外が出たときは、次の回はAがサイコロを投げる。
$(\text{v})B$がサイコロを投げて2か3が出たときは、次の回もBがサイコロを投げる。

(1)$k$回目にAがサイコロを投げる確率を$P_k,B$が投げる確率を$Q_k$とする。
$P_{k+1}$を$P_k$と$Q_k$を用いて表せ。

(2)k回目に$A$がサイコロを投げて勝つ確率を$R_k$とする。$R_k$を$k$を用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
サイコロ$5$個振って目の和が$7$の倍数になる確率を求めよ.

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 6}}$ある大学で来学期の授業の形式をどうするかを検討している。
授業形式の選択としては、通常の対面形式(授業形式uと呼ぶことにする)、
$\text{Web}$上で試料を閲覧できたり課題を行ったりできるオンデマンド形式(授業形式vと呼ぶことにする)
$\text{Web}$会議システムを使用するオンライン配信形式(授業形式wと呼ぶことにする)
の3つがあるとする。
また、来学期の新型ウイルスの感染状況については、
急激に拡大している状況(感染状況xと呼ぶことにする)、
ピークは過ぎたが十分な収束にはいたっていない状況(感染状況yとよぶことにする)、
ある程度収束した状況(感染状況zとよぶことにする)の3つが考えられるとする。
いま、この大学は授業形式と新型ウイルスの感染状況の組み合わせについて、
次の表(※動画参照)に示す評論値(値が高いほど評価も高い)を定めているものとする。
来学期の感染状況について、感染状況xである確率を$p_x$、
感染状況yである確率をp_y、感染状況zである確率を$p_z$とすると、
xyz空間において点$p=(p_x,p_y,p_z)\mathrm{は}(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$を頂点とする正三角形上の
点としてあらわすことができる。この正三角形上において、点pから各辺に垂線を下ろしたとき、
(1,0,0)と向かいの辺に下ろした垂線の長さをl_x、(0,1,0)と向かいの辺に下した垂線の長さを$l_y$、
(0,0,1)と向かいの辺に下した垂線の長さを$l_z$とする。
(1)このとき$p_x=\frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}}{l}_x,$
$p_y=\frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}}{l}_y,p_z=\frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}}{l}_z$が成り立つ。
いま、正三角形上の点$p=(p_x,p_y,p_z)$に対して、上記の評価の期待値を最大にする
授業形式のラベルをつけることにする。ただし、pによっては評価値を最大にする選択が
複数ある場合もあり、その場合にはpに複数のラベルをつけることにする。
さらに、原点と(0,1,0),(0,0,1)を原点とするyz平面上の直角二等辺三角形の頂点、辺、内部
からなるすべての点にxという感染状況のラベルをつけ、
原点と(1,0,0),(0,0,1)を原点とするxz平面上の直角二等辺三角形の頂点、辺、内部
からなるすべての点にyという感染状況のラベルをつけ、
原点と(1,0,0),(0,1,0)を原点とするxy平面上の直角二等辺三角形の頂点、辺、内部
からなるすべての点にzという感染状況のラベルをつけることにする。
すると、正三角形と3つの直角二等辺三角形からなる四面体の面上(頂点、辺も含む)
のそれぞれの点には、1つもしくは複数のラベルがつくことになる。例えば、
原点には$\{x,y,z\}$の3つのラベルがつく。
(2)このとき、正三角形の面上(頂点、辺も含む)の各点pにつけられるラベルの
可能性を列挙すると、以下の通りとなる。ただし、複数のラベルがつけられる場合には、
それぞれの中括弧内では、アルファベット順に書くものとする。空欄に入る
ラベルについて下記の選択肢から選びなさい。
単一のラベルがつく場合:$\left\{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}\right\},\left\{w\right\}$
2つのラベルがつく場合:$\{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}},w\},\{u,\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}\},$
$\{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}},y\},\{w,y\},\{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}},z\}$
3つのラベルがつく場合:$\{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}},w,\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}\},\{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}\}$
4つのラベルがつく場合:$\{u,\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}\},\{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{フ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}\}$

選択肢:$(1)u(2)v(3)w(4)x(5)y(6)z$

2022慶應義塾大学環境情報学部過去問

問題文全文(内容文)：
名古屋大学2024年の確率と積分の融合問題をその場で解きながら解説してみた！

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}3\mathrm{問}$
二つの袋$A,B$と一つの箱がある。$A$の袋には赤球2個と白球1個が入っており、
$B$の袋には赤球3個と白球1個が入っている。また、箱には何も入っていない。

(1)$A,B$の袋から球をそれぞれ1個ずつ同時に取り出し、球の色を調べずに箱に入れる。
$(\text{i})$箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}}}$である。

$(\text{ii})$箱の中をよくかき混ぜてから球を1個取り出すとき、取り出した球が赤球
である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}}}$であり、取り出した球が赤球であったときに、
それが$B$の袋に入っていたものである条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}\mathrm{サ}}}}}$である。

(2)$A,B$の袋から球をそれぞれ2個ずつ同時に取り出し、球の色を調べずに箱に入れる。
$(\text{i})$箱の中の4個の球のうち、ちょうど2個が赤球である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$である。
また、箱の中の4個の球のうち、ちょうど3個が赤球である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$である。

$(\text{ii})$箱の中をよくかき混ぜてから球を2個同時に取り出すとき、どちらの球も
赤球である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}}}$である。また、取り出した2個の球がどちらも
赤球であったときに、それらのうちの1個のみがBの袋に入っていたものである
条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}\mathrm{ナ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}\mathrm{ヌ}}}}}$である。