問題文全文(内容文)：
'89山形大学過去問題
$f(x)=x^4-6a^2{x}^2+5a^4$ (a＞0)
(a,0)における接線l。
f(x)とlとで囲まれる面積

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$ aを実数とし、2次関数f(x)=$x^2$+2$ax$-3 を考える。実数xがa≦x≦a+3 の範囲を動くときのf(x)の最大値および最小値を、それぞれM(a), m(a)とする。
以下の問いに答えよ。
(1)M(a)をaを用いて表せ。
(2)m(a)をaを用いて表せ。
(3)aがすべての実数を動くとき、m(a)の最小値を求めよ。

2023東北大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
(1)$\frac{dx}{dt}=\frac{x}{t}-\frac{2t}{x}$
(2)$\frac{dx}{dt}=\frac{x}{t}+co{s}^2\frac{x}{t}$
(3)$\frac{dx}{dt}=\frac{x}{t}+e^{-\frac{x}{t}}$

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$
(1)$a$は$0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす定数とする。$x\geqq 0$の範囲で不等式
$a(x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}})\leqq \log (1+ax)$　が成り立つことを示しなさい。

(2)$b$を実数の定数とする。$x\geqq 0$の範囲で不等式
$\log (1+{\displaystyle \frac{1}{2}x})\leqq bx$
が成り立つような$b$の最小値は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$である。

(3)$n$と$k$を自然数とし、$I(n,k)=\underset{t\to +0}{lim}$${\int }_0^{{\displaystyle \frac{k}{n}}}{\displaystyle \frac{\log (1+{\displaystyle \frac{1}{2}tx})}{t(1+x)}dx}$
とおく。$I(n,k)$を求めると、$I(n,k)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$である。また
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}I(n,k)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}$　である。

問題文全文(内容文)：
$a,h$を正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が
直線$x=h$からの距離の$a$倍であるような点$P$の軌跡を考える。点$P$の座標を$(x,y)$とする
と、$x,y$は次の方程式を満たす。
$(1-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}})x^2+2\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}x+y^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}...(1)$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}{a}^2\mathrm{①}{h}^2\mathrm{②}{a}^3\mathrm{③}{a}^{2}h\mathrm{④}a{h}^2$
$\mathrm{⑤}{h}^3\mathrm{⑥}{b}^4\mathrm{⑦}{a}^2{h}^2\mathrm{⑧}a{h}^3\mathrm{⑨}{h}^4$

次に、座標平面の原点$O$を極、$x$軸の正の部分を始線とする極座標を考える。
点$P$の極座標を$(r\theta )$とする。$r\leqq h$を満たすとき、
点$P$の直交座標$(x,y)$を$a,h,\theta$を用いて表すと

$(x,y)=(\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}\cos \theta ,\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}\sin \theta )...(2)$
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}h\mathrm{①}ah\mathrm{②}{h}^2\mathrm{③}a{h}^2\mathrm{④}1+a\cos \theta$
$\mathrm{⑤}1+a\sin \theta \mathrm{⑥}a\cos \theta -1\mathrm{⑦}a\sin \theta -1\mathrm{⑧}1-a\cos \theta \mathrm{⑨}1-a\sin \theta$

(1)から、$a=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$のとき、点$P$の軌跡は放物線$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}{y}^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$となる。
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積$S$は
$S=2{\int }_0^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}xdy=2{\int }_0^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}(\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}{y}^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}})dy=$
$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{h}^2$
である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。
${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos \theta }{(1+\cos \theta {)}^2}d\theta =\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}h\mathrm{①}2h\mathrm{②}\frac{h}{2}\mathrm{③}-\frac{h}{2}\mathrm{④}\frac{1}{h}$
$\mathrm{⑤}-\frac{1}{h}\mathrm{⑥}\frac{1}{2h}\mathrm{⑦}-\frac{1}{2h}\mathrm{⑧}{h}^2\mathrm{⑨}-h^2$

2022明治大学全統理系過去問