色々な関数の導関数
色々な関数の導関数
曲線y=eˣ+2e⁻ˣにおいて，傾きが1である接線の方程式を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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問題文全文(内容文)：
曲線 $y=e^x+2e^{-x}$ において、傾きが 1 である接線の方程式を求めよ。
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曲線 $y=e^x+2e^{-x}$ において、傾きが 1 である接線の方程式を求めよ。
次の曲線について，与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。（1）y=√x（−2，0）（2）y=2x/（x+1）（1，2）（3）y=e²ˣ⁺¹（0，0）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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問題文全文(内容文)：
次の曲線について、与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。
(1) $y=\sqrt{x}\quad(-2,\ 0)$
(2) $y=\dfrac{2x}{x+1}\quad(1,\ 2)$
(3) $y=e^{2x+1}\quad(0,\ 0)$
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次の曲線について、与えられた点を通る接線の方程式を求めよ。
(1) $y=\sqrt{x}\quad(-2,\ 0)$
(2) $y=\dfrac{2x}{x+1}\quad(1,\ 2)$
(3) $y=e^{2x+1}\quad(0,\ 0)$
次の曲線について（ ）内のtの値に対応する接線の方程式を求めよ（1）x=√3cost，y=sint（t=π/6）（2）x=cos2t，y=sint+1（t=−π/6）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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問題文全文(内容文)：
媒介変数 $t$ で表された次の曲線について、（ ）内の $t$ の値に対応する点における接線の方程式を求めよ。
(1) $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos t\\y=\sin t\end{array}\right.\ \left(t=\dfrac{\pi}{6}\right)$
(2) $\left\{\begin{array}{l}x=\cos2t\\y=\sin t+1\end{array}\right.\ \left(t=-\dfrac{\pi}{6}\right)$
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媒介変数 $t$ で表された次の曲線について、（ ）内の $t$ の値に対応する点における接線の方程式を求めよ。
(1) $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos t\\y=\sin t\end{array}\right.\ \left(t=\dfrac{\pi}{6}\right)$
(2) $\left\{\begin{array}{l}x=\cos2t\\y=\sin t+1\end{array}\right.\ \left(t=-\dfrac{\pi}{6}\right)$
xの関数yが，tを媒介変数として，x=cost+tsint，y=sint−tcostと表されるとき，d²y/dx²をtの関数として表せ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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問題文全文(内容文)：
$x$ の関数 $y$ が、$t$ を媒介変数として、$x=\cos t+t\sin t,\ y=\sin t-t\cos t$ と表されるとき、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表せ。
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$x$ の関数 $y$ が、$t$ を媒介変数として、$x=\cos t+t\sin t,\ y=\sin t-t\cos t$ と表されるとき、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表せ。
次の関数について，dy/dxを求めよ。（1）x²+3xy−y²=1（2）x=cosy（3）x=（1+t²）/（1−t²），y=2t/（1−t²）他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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問題文全文(内容文)：
次の関数について、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。ただし、(1)、(2)では、$y$ を用いて表してもよい。また、(3)、(4)では、$t$ の関数として表せ。$a,\ b$ は正の定数とする。
(1) $x^2+3xy-y^2=1$
(2) $x=\cos y$
(3) $x=\dfrac{1+t^2}{1-t^2},\ y=\dfrac{2t}{1-t^2}$
(4) $x=a\cos^3t,\ y=b\sin^3t$
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次の関数について、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。ただし、(1)、(2)では、$y$ を用いて表してもよい。また、(3)、(4)では、$t$ の関数として表せ。$a,\ b$ は正の定数とする。
(1) $x^2+3xy-y^2=1$
(2) $x=\cos y$
(3) $x=\dfrac{1+t^2}{1-t^2},\ y=\dfrac{2t}{1-t^2}$
(4) $x=a\cos^3t,\ y=b\sin^3t$
成り立つことを証明せよ（1）y=x√（1+x²）のとき（1+x²）y″+xy′=4y（2）y=e⁻²ˣ（acos2x+bsin2x）のときy″+4y′+8y=0【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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問題文全文(内容文)：
次のことが成り立つことを証明せよ。ただし、$a,\ b$ は定数とする。
(1) $y=x\sqrt{1+x^2}$ のとき $(1+x^2)y''+xy'=4y$
(2) $y=e^{-2x}(a\cos2x+b\sin2x)$ のとき $y''+4y'+8y=0$
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次のことが成り立つことを証明せよ。ただし、$a,\ b$ は定数とする。
(1) $y=x\sqrt{1+x^2}$ のとき $(1+x^2)y''+xy'=4y$
(2) $y=e^{-2x}(a\cos2x+b\sin2x)$ のとき $y''+4y'+8y=0$
次の関数の第3次導関数を求めよ。（1）y=1/（x²−x）（2）y=√（2x+1）（3）y=cos³x【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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次の関数の第3次導関数を求めよ。
(1) $y=\dfrac{1}{x^2-x}$
(2) $y=\sqrt{2x+1}$
(3) $y=\cos^3x$
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次の関数の第3次導関数を求めよ。
(1) $y=\dfrac{1}{x^2-x}$
(2) $y=\sqrt{2x+1}$
(3) $y=\cos^3x$
次の極限を求めよ。（1）limₓ→0log（1+x）/x（2）limₓ→∞（x/（x+1））ˣ（3）limₓ→0（1+2x）¹/ˣ（4）limₓ→∞（1−2/x）ˣ【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$ を用いて、次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\log(1+x)}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^x$
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$\displaystyle \lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$ を用いて、次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\log(1+x)}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^x$
対数微分法により、次の関数を微分せよ。（1）y=（x+1）²/｛（x+2）³（x+3）⁴｝（2）y=（1+x）³（1−2x）/｛（1−x）（1+2x）³｝他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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対数微分法により、次の関数を微分せよ。ただし、$a$ は定数とする。
(1) $y=\dfrac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$
(2) $y=\dfrac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3}$
(3) $y=\sqrt[4]{(x+1)(x^2+2)}$
(4) $y=\dfrac{x}{\sqrt{(a^2+x^2)^3}}$
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対数微分法により、次の関数を微分せよ。ただし、$a$ は定数とする。
(1) $y=\dfrac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$
(2) $y=\dfrac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3}$
(3) $y=\sqrt[4]{(x+1)(x^2+2)}$
(4) $y=\dfrac{x}{\sqrt{(a^2+x^2)^3}}$
次の関数を微分せよ。ただし，a，bは定数で，a＞0，a≠1とする。（1）y=e⁻²ˣsin2x（2）y=10ˢⁱⁿˣ（3）y=logₓa（4）y=log（logx）他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の関数を微分せよ。ただし、$a,\ b$ は定数で、$a>0,\ a\ne1$ とする。
(1) $y=e^{-2x}\sin2x$
(2) $y=10^{\sin x}$
(3) $y=\log_x a$
(4) $y=\log(\log x)$
(5) $y=\log(x+\sqrt{x^2-a^2})$
(6) $y=\log\dfrac{x^2-b}{x^2+b}$
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次の関数を微分せよ。ただし、$a,\ b$ は定数で、$a>0,\ a\ne1$ とする。
(1) $y=e^{-2x}\sin2x$
(2) $y=10^{\sin x}$
(3) $y=\log_x a$
(4) $y=\log(\log x)$
(5) $y=\log(x+\sqrt{x^2-a^2})$
(6) $y=\log\dfrac{x^2-b}{x^2+b}$
次の極限値を求めよ。（1）limₓ→ₐ（sinx−sina）/sin（x−a）（2）limₓ→ₐ（x²sina−a²sinx）/（x−a）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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理数個別チャンネル
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次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{\sin x-\sin a}{\sin(x-a)}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{x^2\sin a-a^2\sin x}{x-a}$
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次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{\sin x-\sin a}{\sin(x-a)}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{x^2\sin a-a^2\sin x}{x-a}$
次の関数を微分せよ。（1）y=sin²3x（2）y=sin⁵xcos5x（3）y=sin⁴xcos⁴x（4）y=√（1+sin²x）他【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数を微分せよ。
(1) $y=\sin^23x$
(2) $y=\sin^5x\cos5x$
(3) $y=\sin^4x\cos^4x$
(4) $y=\sqrt{1+\sin^2x}$
(5) $y=\sin\sqrt{x^2+x+1}$
(6) $y=\left(\tan x+\dfrac{1}{\tan x}\right)^2$
(7) $y=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}$
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次の関数を微分せよ。
(1) $y=\sin^23x$
(2) $y=\sin^5x\cos5x$
(3) $y=\sin^4x\cos^4x$
(4) $y=\sqrt{1+\sin^2x}$
(5) $y=\sin\sqrt{x^2+x+1}$
(6) $y=\left(\tan x+\dfrac{1}{\tan x}\right)^2$
(7) $y=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}$
福田のおもしろ数学449〜3次式が常に0以上となるxの範囲
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
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JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
実数$a$に対して関数$f(x)$を考える。
$f(x)=x^3-2x^2+(2a-1)x-2a$
$0\leqq a \leqq 1$のとき、
常に$f(x)\geqq 0$となる$x$の範囲を求めよ。
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実数$a$に対して関数$f(x)$を考える。
$f(x)=x^3-2x^2+(2a-1)x-2a$
$0\leqq a \leqq 1$のとき、
常に$f(x)\geqq 0$となる$x$の範囲を求めよ。
福田の数学〜京都大学2025理系第3問〜関数の増減と値域
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$e$は自然対数の底とする。
$x\gt \dfrac{1}{\sqrt e}$において定義された次の関数
$f(x),g(x)$を考える。
$f(x)=x^2 \log x$
$g(x)=x^2\log x - \dfrac{1}{1+2\log x}$
実数$t$は$t\gt \dfrac{1}{\sqrt e}$を満たすとする。
曲線$y=f(x)$上の店$(t,f(t))$における接線に垂直で、
点$(t,g(t))$を通る直線を$l_t$とする。
直線$l_t$が$x$軸と交わる点の$x$座標を$p(t)$とする。
$t$が$\dfrac{1}{\sqrt e} \lt t \leqq e$の範囲を動くとき、
$p(t)$の取りうる値の範囲を求めよ。
$2025$年京都大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
$e$は自然対数の底とする。
$x\gt \dfrac{1}{\sqrt e}$において定義された次の関数
$f(x),g(x)$を考える。
$f(x)=x^2 \log x$
$g(x)=x^2\log x - \dfrac{1}{1+2\log x}$
実数$t$は$t\gt \dfrac{1}{\sqrt e}$を満たすとする。
曲線$y=f(x)$上の店$(t,f(t))$における接線に垂直で、
点$(t,g(t))$を通る直線を$l_t$とする。
直線$l_t$が$x$軸と交わる点の$x$座標を$p(t)$とする。
$t$が$\dfrac{1}{\sqrt e} \lt t \leqq e$の範囲を動くとき、
$p(t)$の取りうる値の範囲を求めよ。
$2025$年京都大学理系過去問題
【数Ⅲ】【微分とその応用】n次導関数と微分の表し方 ※問題文は概要欄
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#微分とその応用#微分法#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数について, $\frac{ dy }{ dx }$ を求めよ。ただし (1)(2)では $y$ を用いて表してもよい。また(3)(4)では、t$$ の関数として表せ。$a,b$は正の定数とする。
$x²+3xy-y²=1$
$x$の関数 $y$ が、$t$ を媒介変数として $x=cost +tsint, y= sint - tcost$ と表せるとき、$\frac{ d^2 y }{ dx^2 }$ を$ t $の関数として表せ。
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次の関数について, $\frac{ dy }{ dx }$ を求めよ。ただし (1)(2)では $y$ を用いて表してもよい。また(3)(4)では、t$$ の関数として表せ。$a,b$は正の定数とする。
$x²+3xy-y²=1$
$x$の関数 $y$ が、$t$ を媒介変数として $x=cost +tsint, y= sint - tcost$ と表せるとき、$\frac{ d^2 y }{ dx^2 }$ を$ t $の関数として表せ。
【数Ⅲ】【微分とその応用】色々な関数の微分2 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
対数微分法により次の関数を微分せよ。ただし、aは定数とする。
y= (x+1)²/((x+2)³(x+3)⁴）
以下、略
次の関数を微分せよ。ただし x＞0 とする。
y= x^sinx
以下、略
lim_(k→0) (1+k)^(1/k)=e を用いて、次の極限を求めよ。
lim_(x→0) ((log(1+x)/x)
以下、略
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対数微分法により次の関数を微分せよ。ただし、aは定数とする。
y= (x+1)²/((x+2)³(x+3)⁴）
以下、略
次の関数を微分せよ。ただし x＞0 とする。
y= x^sinx
以下、略
lim_(k→0) (1+k)^(1/k)=e を用いて、次の極限を求めよ。
lim_(x→0) ((log(1+x)/x)
以下、略
【数Ⅲ】【微分とその応用】色々な関数の微分1 ※問題文は概要欄
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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問題文全文(内容文)：
次の関数を微分せよ
y= sin²3x
y= sin⁵x+cos5x
y= sin⁴xcos⁴x
y= √（1+sin²x)
y= sin√（x²+x+1)
y= (tanx + 1/tanx)²
y= cosx/(1-sinx)
y= (1-sinx) / (1+cosx)
次の極限値を求めよ
lim_(x→a) (sinx - sina) / sin(x-a)
lim_(x→a) (x²sina - a²sinx) / (x-a)
次の関数を微分せよ。ただしa,bは定数で、a＞0,a≠0 とする。
y= e^(-2x) sin2x
y= 10^sinx
y= log_x(a)
y= log(logx)
y= log_a(sinx)
y= log(1-cosx)
y= log_a(x+√（x²-a²）
y= log ((x²-b) / (x²+b))
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次の関数を微分せよ
y= sin²3x
y= sin⁵x+cos5x
y= sin⁴xcos⁴x
y= √（1+sin²x)
y= sin√（x²+x+1)
y= (tanx + 1/tanx)²
y= cosx/(1-sinx)
y= (1-sinx) / (1+cosx)
次の極限値を求めよ
lim_(x→a) (sinx - sina) / sin(x-a)
lim_(x→a) (x²sina - a²sinx) / (x-a)
次の関数を微分せよ。ただしa,bは定数で、a＞0,a≠0 とする。
y= e^(-2x) sin2x
y= 10^sinx
y= log_x(a)
y= log(logx)
y= log_a(sinx)
y= log(1-cosx)
y= log_a(x+√（x²-a²）
y= log ((x²-b) / (x²+b))
福田の数学〜上智大学2024TEAP利用型理系第1問(3)〜対数不等式を満たす最小の整数
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#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#微分とその応用#色々な関数の導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
(i) $\log_{10} 2=0.301$とする。このとき、$\log_{10} 1.28=0.\boxed{ウ}$である。
(ii)$n$は$2$以上の整数とする。$n^{100}<1.28^n$となる最小の$n$について、$2^a \leqq n < 2^{a+1}$となる整数$a$は$\boxed{エ}$
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(i) $\log_{10} 2=0.301$とする。このとき、$\log_{10} 1.28=0.\boxed{ウ}$である。
(ii)$n$は$2$以上の整数とする。$n^{100}<1.28^n$となる最小の$n$について、$2^a \leqq n < 2^{a+1}$となる整数$a$は$\boxed{エ}$
福田の数学〜明治大学2024理工学部第2問〜三角関数の増減と面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\sin{3x}-\sqrt3\cos{2x}$とし、座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする。
(1) 点$(0,f(0))$における曲線$C$の接線の方程式は$y=\boxed{あ}$である。
(2) $t$についての整式$g(t)$で、$f'(x)=g(\sin x)\cos x$が成り立つものを求めると、$g(t)=\boxed{い}$である。
(3) $x>0$の範囲で、$f'(x)=0$となる$x$の値を小さい順に$x_1,x_2,x_3,\cdots$とすると、$x_1=\boxed{う},x_2=\boxed{え},x_3=\boxed{お}$である。
(4) $0\leqq x\leqq \pi$の範囲での$f(x)$の最大値は$\boxed{か}$、最小値は$\boxed{き}$である。
(5) (4)で定めた$x_1$と$x_3$に対して、2点$(x_1,f(x_1)),(x_3,f(x_3))$を通る直線を$l$とする。このとき、$x_1\leqq x\leqq x_3$の範囲において直線$l$と曲線$C$で囲まれた部分の面積は$\boxed{く}$である。
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$f(x)=\sin{3x}-\sqrt3\cos{2x}$とし、座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする。
(1) 点$(0,f(0))$における曲線$C$の接線の方程式は$y=\boxed{あ}$である。
(2) $t$についての整式$g(t)$で、$f'(x)=g(\sin x)\cos x$が成り立つものを求めると、$g(t)=\boxed{い}$である。
(3) $x>0$の範囲で、$f'(x)=0$となる$x$の値を小さい順に$x_1,x_2,x_3,\cdots$とすると、$x_1=\boxed{う},x_2=\boxed{え},x_3=\boxed{お}$である。
(4) $0\leqq x\leqq \pi$の範囲での$f(x)$の最大値は$\boxed{か}$、最小値は$\boxed{き}$である。
(5) (4)で定めた$x_1$と$x_3$に対して、2点$(x_1,f(x_1)),(x_3,f(x_3))$を通る直線を$l$とする。このとき、$x_1\leqq x\leqq x_3$の範囲において直線$l$と曲線$C$で囲まれた部分の面積は$\boxed{く}$である。
福田のおもしろ数学241〜e^πとπ^eの大小
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
$e^π$と$π^e$の大小を比較してください。
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$e^π$と$π^e$の大小を比較してください。
福田の数学〜中央大学202理工学部第3問〜関数の列と漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#微分とその応用#色々な関数の導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
関数$f(x),g(x)$に対し、$s_n(x)=f(x)^n+g(x)^n$とおき、さらに$s_1(x)=x, s_2(x)=x^2+2$が成り立つとする。
(1) $f(x)+g(x)$と$s_3(x)$を求めよ。
(2) $s_{n+2}(x)$を$s_n(x)$と$s_{n+1}(x)$を用いて表せ。
(3) $s_n(x)$の$x=0$における値$s_n(0)$と微分係数$s_n'(0)$を求めよ。
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関数$f(x),g(x)$に対し、$s_n(x)=f(x)^n+g(x)^n$とおき、さらに$s_1(x)=x, s_2(x)=x^2+2$が成り立つとする。
(1) $f(x)+g(x)$と$s_3(x)$を求めよ。
(2) $s_{n+2}(x)$を$s_n(x)$と$s_{n+1}(x)$を用いて表せ。
(3) $s_n(x)$の$x=0$における値$s_n(0)$と微分係数$s_n'(0)$を求めよ。
福田の数学〜東京大学2018年理系第1問〜関数の増減と極限の計算
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#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\dfrac{x}{\sin x}+\cos x (0 \lt x \lt \pi)$のぞうげんひょうを作り、$x→+0,x→\pi-0$のときの極限を調べよ。
2018東京大学理過去問
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$f(x)=\dfrac{x}{\sin x}+\cos x (0 \lt x \lt \pi)$のぞうげんひょうを作り、$x→+0,x→\pi-0$のときの極限を調べよ。
2018東京大学理過去問
【限定公開】【過去問解説】2023年度東邦大学医学部 数学 大問10【医塾公式】
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#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#色々な関数の導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東邦大学
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医塾の過去問解説チャンネル
問題文全文(内容文)：
\(\boxed{10}\) 対数は自然対数とする。関数
\(f(x) = (\sin x + \cos x)^{5\sin x + 5\cos x + \log(\sin x + \cos x)}\)
について、\(f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \boxed{サシ}\) 、\(f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = \boxed{スセ}\) である。
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\(\boxed{10}\) 対数は自然対数とする。関数
\(f(x) = (\sin x + \cos x)^{5\sin x + 5\cos x + \log(\sin x + \cos x)}\)
について、\(f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \boxed{サシ}\) 、\(f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = \boxed{スセ}\) である。
福田の数学〜陰関数を考える貴重な問題〜明治大学2023年全学部統一Ⅲ第4問〜陰関数のグラフの増減とグラフ
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#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{4}}$ 座標空間において、2点(-2,0),(2,0)からの距離の積が4であるような点Pの軌跡を考える。点Pの座標を($x$,$y$)とすると、$x$,$y$は次の方程式を満たす。
$y^4$+$\boxed{\ \ ア\ \ }y^2$+$(\boxed{\ \ イ\ \ })^2$=16 ...(1)
方程式(1)が表す曲線を$C$とする。$C$の概形を描くことにしよう。まず、曲線$C$と$x$軸との共有点の$x$座標は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$と$±\boxed{\ \ エ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}$である。次に、(1)を$y^2$に関する2次方程式とみて解けば、$y^2$≧0 であるので、
$y^2$=$\boxed{\ \ カ\ \ }$+$4\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}$ ...(2)
となり、また$x$のとりうる値の範囲は
$-\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$≦$x$≦$\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$
となる。$x$≧0, $y$≧0とすれば、方程式(2)は0≦$x$≦$\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$を定義域とする$x$の関数$y$を定める。このとき、0<$x$$\boxed{\ \ サ\ \ }$のとき共有点はなく、0≦$a$≦$\boxed{\ \ サ\ \ }$のとき共有点がある。
共有点の個数は、$a$=0のとき$\boxed{\ \ シ\ \ }$個、0<$a$<$\boxed{\ \ サ\ \ }$のとき$\boxed{\ \ ス\ \ }$個、$a$=$\boxed{\ \ サ\ \ }$のとき$\boxed{\ \ セ\ \ }$個となる。
$\boxed{\ \ ア\ \ }$、$\boxed{\ \ イ\ \ }$、$\boxed{\ \ カ\ \ }$、$\boxed{\ \ キ\ \ }$の解答群
⓪$x^2+1$ ①$-(x^2+1)$ ②$x^2-1$ ③$-(x^2-1)$ ④$x^2+4$
⑤$2(x^2+4)$ ⑥$x^2-4$ ⑦$2(x^2-4)$ ⑧$-(x^2+4)$ ⑨$-2(x^2-4)$
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$\Large{\boxed{4}}$ 座標空間において、2点(-2,0),(2,0)からの距離の積が4であるような点Pの軌跡を考える。点Pの座標を($x$,$y$)とすると、$x$,$y$は次の方程式を満たす。
$y^4$+$\boxed{\ \ ア\ \ }y^2$+$(\boxed{\ \ イ\ \ })^2$=16 ...(1)
方程式(1)が表す曲線を$C$とする。$C$の概形を描くことにしよう。まず、曲線$C$と$x$軸との共有点の$x$座標は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$と$±\boxed{\ \ エ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}$である。次に、(1)を$y^2$に関する2次方程式とみて解けば、$y^2$≧0 であるので、
$y^2$=$\boxed{\ \ カ\ \ }$+$4\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}$ ...(2)
となり、また$x$のとりうる値の範囲は
$-\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$≦$x$≦$\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$
となる。$x$≧0, $y$≧0とすれば、方程式(2)は0≦$x$≦$\boxed{\ \ ク\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$を定義域とする$x$の関数$y$を定める。このとき、0<$x$$\boxed{\ \ サ\ \ }$のとき共有点はなく、0≦$a$≦$\boxed{\ \ サ\ \ }$のとき共有点がある。
共有点の個数は、$a$=0のとき$\boxed{\ \ シ\ \ }$個、0<$a$<$\boxed{\ \ サ\ \ }$のとき$\boxed{\ \ ス\ \ }$個、$a$=$\boxed{\ \ サ\ \ }$のとき$\boxed{\ \ セ\ \ }$個となる。
$\boxed{\ \ ア\ \ }$、$\boxed{\ \ イ\ \ }$、$\boxed{\ \ カ\ \ }$、$\boxed{\ \ キ\ \ }$の解答群
⓪$x^2+1$ ①$-(x^2+1)$ ②$x^2-1$ ③$-(x^2-1)$ ④$x^2+4$
⑤$2(x^2+4)$ ⑥$x^2-4$ ⑦$2(x^2-4)$ ⑧$-(x^2+4)$ ⑨$-2(x^2-4)$
数学どうにかしたい人へ
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#数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ
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カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】
問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です
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関数はパターンだ！！宮崎学園 （宮崎）
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
点Dの座標は？
＊図は動画内参照
宮崎学園高等学校
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点Dの座標は？
＊図は動画内参照
宮崎学園高等学校
関数はパターンだ！！北陸高校（福井県）
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#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
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数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
△OAB=△PAB
S=？（S>2）
＊図は動画内参照
北陸（改）
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△OAB=△PAB
S=？（S>2）
＊図は動画内参照
北陸（改）
福田の数学〜筑波大学2023年理系第5問〜関数の増減と極限
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#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#微分法#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ
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JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ $f(x)$=$x^{-2}e^x$ ($x$＞0)とし、曲線$y$=$f(x)$をCとする。また$h$を正の実数とする。さらに、正の実数$t$に対して、曲線C、2直線$x$=$t$, $x$=$t$+$h$、および$x$軸で囲まれた図形の面積を$g(t)$とする。
(1)$g'(t)$を求めよ。
(2)$g(t)$を最小にする$t$がただ1つ存在することを示し、その$t$を$h$を用いて表せ。
(3)(2)で得られた$t$を$t(h)$とする。このとき極限値$\displaystyle\lim_{h \to +0}t(h)$を求めよ。
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$\Large\boxed{5}$ $f(x)$=$x^{-2}e^x$ ($x$＞0)とし、曲線$y$=$f(x)$をCとする。また$h$を正の実数とする。さらに、正の実数$t$に対して、曲線C、2直線$x$=$t$, $x$=$t$+$h$、および$x$軸で囲まれた図形の面積を$g(t)$とする。
(1)$g'(t)$を求めよ。
(2)$g(t)$を最小にする$t$がただ1つ存在することを示し、その$t$を$h$を用いて表せ。
(3)(2)で得られた$t$を$t(h)$とする。このとき極限値$\displaystyle\lim_{h \to +0}t(h)$を求めよ。
福田の数学〜神戸大学2023年理系第5問〜媒介変数表示で表された曲線と面積
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#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#神戸大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 媒介変数表示
$x$=$\sin t$, $y$=$\cos(t-\frac{\pi}{6})\sin t$ (0≦$t$≦$\pi$)
で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。
(1)$\frac{dx}{dt}$=0 または $\frac{dy}{dt}$=0 となる$t$の値を求めよ。
(2)Cの概形を$xy$平面上に描け。
(3)Cの$y$≦0 の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
2023神戸大学理系過去問
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$\Large\boxed{5}$ 媒介変数表示
$x$=$\sin t$, $y$=$\cos(t-\frac{\pi}{6})\sin t$ (0≦$t$≦$\pi$)
で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。
(1)$\frac{dx}{dt}$=0 または $\frac{dy}{dt}$=0 となる$t$の値を求めよ。
(2)Cの概形を$xy$平面上に描け。
(3)Cの$y$≦0 の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
2023神戸大学理系過去問
福田の数学〜名古屋大学2023年理系第２問〜回転体の体積と関数の増減と最大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#微分とその応用#積分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#面積、体積#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 0＜b＜a とする。xy平面において、原点を中心とする半径rの円Cと点(a, 0)を中心とする半径bの円Dが2点で交わっている。
(1)半径rの満たすべき条件を求めよ。
(2)CとDの交点のうちy座標が正のものをPとする。Pのx座標h(r)を求めよ。
(3)点Q(r, 0)と点R(a-b, 0)をとる。Dの内部にあるCの弧PQ、線分QR、および線分RPで囲まれる図形をAとする。xyz空間においてAをx軸の周りに1回転して得られる立体の体積V(r)を求めよ。ただし答えにh(r)を用いてもよい。
(4)(3)の最大値を与えるrを求めよ。また、そのrをr(a)とおいたとき、
$\displaystyle\lim_{a \to \infty}(r(a)-a)$を求めよ。
2023名古屋大学理系過去問
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$\Large\boxed{2}$ 0＜b＜a とする。xy平面において、原点を中心とする半径rの円Cと点(a, 0)を中心とする半径bの円Dが2点で交わっている。
(1)半径rの満たすべき条件を求めよ。
(2)CとDの交点のうちy座標が正のものをPとする。Pのx座標h(r)を求めよ。
(3)点Q(r, 0)と点R(a-b, 0)をとる。Dの内部にあるCの弧PQ、線分QR、および線分RPで囲まれる図形をAとする。xyz空間においてAをx軸の周りに1回転して得られる立体の体積V(r)を求めよ。ただし答えにh(r)を用いてもよい。
(4)(3)の最大値を与えるrを求めよ。また、そのrをr(a)とおいたとき、
$\displaystyle\lim_{a \to \infty}(r(a)-a)$を求めよ。
2023名古屋大学理系過去問