問題文全文(内容文)：
積分の1/6公式の具体的な使い方がこの動画を見れば7分でマスターできます！

問題文全文(内容文)：
放物線y=-x(x-6)とx軸で囲まれた図形の面積を、直線y=mxが2等分するとき、定数mの値を求めよう。

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$放物線$C:y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$　$(a \gt 0)$における法線lの方程式を$y=f(x)$
とおくと、$f(x)=\boxed{\ \ ア\ \ }$となる。またCとlの交点のうちPと異なる方の点Qを
求めると、$Q(\boxed{\ \ イ\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ }^2)$となる。以下、Cとlで囲まれた部分をDとし、
Dをlの周りに1回転して得られる回転体の体積$V(a)$を求める。Dに含まれるl上
の点を$R(t,\ f(t))$　$(\boxed{\ \ イ\ \ }$ $\leqq t \leqq a)$とおく。Rを通りlに垂直な直線は
$y=2a(x-t)+f(t)$で与えられる。この直線と$y=x^2$の2つの交点のうち
Dに含まれる方の点Sのx座標は$x=a-\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t}$ となる。このとき
線分RSの長さ$r=g(t)$は$g(t)=\boxed{\ \ エ\ \ }(t-a+\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t})$となる。
線分QRの長さ$s=h(t)$は$h(t)=\boxed{\ \ オ\ \ }(t-\boxed{\ \ イ\ \ })$で与えられるので、
$V(a)=\pi\int_0^{h(a)}r^2ds=\pi\int_{\boxed{イ}}^a\left\{g(t)\right\}^2h'(t)dt$
$=\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_{\boxed{イ}}^a(a-t)(-\sqrt{a-t}+\boxed{\ \ ウ\ \ })^2dt$
となる。ここで$u=\sqrt{a-t}$とおいて置換積分を行えば
$V(a)=2\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_0^{\boxed{ウ}}\left\{u^5-2\boxed{\ \ ウ\ \ }u^4+(\boxed{\ \ ウ\ \ })^2u^3\right\}du=\boxed{\ \ カ\ \ }$
が求まる。さらに、$a \gt 0$の範囲で$a$を動かすとき、$\lim_{a \to +0}V(a)=\lim_{a \to \infty}V(a)=\infty$
であり、$V(a)$を最小にするaの値は$a=\boxed{\ \ キ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ ア\ \ }$の解答群
ⓐ$-\frac{2}{a}(x-a)+a^2$　ⓑ$-\frac{1}{a}(x-a)+a^2$　ⓒ$-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2$　ⓓ$-2a(x-a)+a^2$

$\boxed{\ \ イ\ \ }～\ \boxed{\ \ オ\ \ }$の解答群
ⓐ$-\frac{a^2-1}{a}$　ⓑ$-\frac{2a^2-1}{2a}$　ⓒ$-\frac{a^2+1}{a}$　ⓓ$-\frac{2a^2+1}{2a}$
ⓔ$\frac{\sqrt{a^2+4}}{2}$　ⓕ$\sqrt{a^2+1}$　ⓖ$\sqrt{4a^2+1}$　ⓗ$2a$
ⓘ$\frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a}$　ⓙ$\frac{\sqrt{a^2+4}}{a}$　ⓚ$\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}$　ⓛ$\frac{\sqrt{a^2+1}}{2a}$
ⓜ$\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}}$ ⓝ$\sqrt{\frac{4a^2+1}{2a}}$　ⓞ$\sqrt{\frac{2a^2+1}{a}}$　ⓟ$\sqrt{\frac{4a^2+1}{a}}$

$\boxed{\ \ カ\ \ }$の解答群
$ⓐ\frac{(2a^2+1)^3(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi　ⓑ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{120a^4}\ \pi　ⓒ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi$
$ⓓ\frac{(2a^2+1)^3(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi　ⓔ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{480a^4}\ \pi　ⓕ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi$
$ⓖ\frac{(a^2+1)^2(4a^2+1)^2}{120a^{\frac{7}{2}}}\ \pi　ⓗ\frac{(4a^2+1)^4}{480\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi　ⓘ\frac{(4a^2+1)^4}{120\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi$

$\boxed{\ \ キ\ \ }$の解答群
$ⓐ\frac{1}{\sqrt5}　ⓑ\frac{1}{\sqrt2}　ⓒ1　ⓓ\sqrt2　ⓔ\frac{2}{\sqrt5}　ⓕ4$

2021中央大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
積分で面積が求まる理由に関して解説していきます.

問題文全文(内容文)：
[1]aを実数とし、$f(x)=x^3-6ax+16$
(1)$y=f(x)$のグラフの概形は
$a=0$のとき、$\boxed{\ \ ア\ \ }$
$a \gt 0$のとき、$\boxed{\ \ イ\ \ }$
である.

$\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ イ\ \ }$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから
1つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(※選択肢は動画参照)

(2)$a \gt 0$とし、pを実数とする。座標平面上の曲線$y=f(x)$と直線$y=p$
が3個の共有点をもつようなpの値の範囲は$\boxed{\ \ ウ\ \ } \lt p \lt \boxed{\ \ エ\ \ }$
である。
$p=\boxed{\ \ ウ\ \ }$のとき、曲線$y=f(x)$と直線$y=p$は2個の共有点をもつ。
それらのx座標を$q,r(q \lt r)$とする。曲線$y=f(x)$と直線$y=p$
が点(r,p)で接することに注意すると
$q=\boxed{\ \ オカ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}\ a^{\frac{1}{2}},　r=\sqrt{\boxed{\ \ ク\ \ }}\ a^{\frac{1}{2}}$
と表せる。

$\boxed{\ \ ウ\ \ },　\boxed{\ \ エ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$2\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$　①$-2\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$
②$4\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$　③$-4\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$
④$8\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$　⑤$-8\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16$

(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数をnとする。次の⓪～⑤のうち、
正しいものは$\boxed{\ \ ケ\ \ }$と$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ ケ\ \ },　\boxed{\ \ コ\ \ }$の解答群(解答の順序は問わない。)

$⓪n=1ならばa \lt 0　①a \lt 0ならばn=1$
$②n=2ならばa \lt 0　③a \lt 0ならばn=2$
$④n=2ならばa \gt 0　⑤a \gt 0ならばn=3$

[2]$b \gt 0$とし、$g(x)=x^3-3bx+3b^2,　h(x)=x^3-x^2+b^2$とおく。
座標平面上の曲線$y=g(x)$を$C_1$,　曲線$y=h(x)$を$C_2$とする。

$C_1$と$C_2$は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれ$\alpha,\beta$
$(\alpha \lt \beta)$とすると、$\alpha=\boxed{\ \ サ\ \ },　\beta=\boxed{\ \ シス\ \ }$である。
$\alpha \leqq x \leqq \beta$の範囲で$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積をSとする。また、
$t \gt \beta$とし、$\beta \leqq x \leqq t$の範囲で$C_1$と$C_2$および直線$x=t$で囲まれた図形の
面積をTとする。
このとき
$S=\int_{\alpha}^{\beta}\boxed{\ \ セ\ \ }dx$
$T=\int_{\beta}^{t}\boxed{\ \ ソ\ \ }dx$
$S-T=\int_{\alpha}^{t}\boxed{\ \ タ\ \ }dx$
であるので
$S-T=\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}(2t^3-\ \boxed{\ \ ト\ \ }bt^2+\boxed{\ \ ナニ\ \ }b^2t-\ \boxed{\ \ ヌ\ \ }b^3)$
が得られる。
したがって、$S=T$となるのは$t=\frac{\boxed{\ \ ネ\ \ }}{\boxed{\ \ ノ\ \ }}\ b$のときである。

$\boxed{\ \ セ\ \ }～\boxed{\ \ タ\ \ }$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
$⓪\left\{g(x)+h(x)\right\}　①\left\{g(x)-h(x)\right\}$
$②\left\{h(x)-g(x)\right\}　③\left\{2g(x)+2h(x)\right\}$
$④\left\{2g(x)-2h(x)\right\}　⑤\left\{2h(x)-2g(x)\right\}$
$⑥2g(x)　⑦2h(x)$

2022共通テスト数学過去問