問題文全文(内容文)：
名古屋大学過去問題
$y=x^2(x+1)とy=k^2(x+1)$とで囲まれる面積が最小となるkの値を求めよ。
$(0 \leqq k \leqq 1)$

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3⃣$f(x)=x \sqrt{4-x^2} \quad (0 \leqq x \leqq 2)$とy=xで囲まれた領域Sの回転体の体積Vを求めよ。
(1)y=f(x)の最大値
(2)y=xと$y=x \sqrt{4-x^2}$ $(0 \leqq x \leqq 2)$で囲まれたSの値を求めよ。
(3)Sの回転体の体積V

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$\Large\boxed{3}$ Oを原点とする座標空間内に点A($a$, 0, 0), B(0, $b$, 0)と線分AB上を動く点Pがある。ただし、$a$, $b$は正の定数とする。Pを通り$x$軸に垂直な直線と$x$軸との交点をQ、Pを通り$y$軸に垂直な直線と$y$軸との交点をRとする。長方形OQPRを底面とし、高さがOQの長さに等しい直方体の体積をVとおく。Pの座標をP($x$, $y$, 0)とするとき、以下の問いに答えよ。
(1)$y$を$x$を用いて表せ。
(2)Vを$x$を用いて表せ。
(3)Pが線分AB上を動くとき、Vの最大値を求めよ。また、そのときのPの座標を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$(1)微分するとx^2+4x+3となる関数を求めよ.$
$(2)\displaystyle \int_{1}^{2} (x^2+4x+3)dxを計算せよ. $
$(3)y=x^2-4x+3とx軸で囲われた図形の面積を求めよ.$
$(4)y=x^3-5x^2+6xとx軸で囲われた2つの図形の面積の和を求めよ.$

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$\Large\boxed{2}$ 0＜b＜a とする。xy平面において、原点を中心とする半径rの円Cと点(a, 0)を中心とする半径bの円Dが2点で交わっている。
(1)半径rの満たすべき条件を求めよ。
(2)CとDの交点のうちy座標が正のものをPとする。Pのx座標h(r)を求めよ。
(3)点Q(r, 0)と点R(a-b, 0)をとる。Dの内部にあるCの弧PQ、線分QR、および線分RPで囲まれる図形をAとする。xyz空間においてAをx軸の周りに1回転して得られる立体の体積V(r)を求めよ。ただし答えにh(r)を用いてもよい。
(4)(3)の最大値を与えるrを求めよ。また、そのrをr(a)とおいたとき、
$\displaystyle\lim_{a \to \infty}(r(a)-a)$を求めよ。

2023名古屋大学理系過去問