問題文全文(内容文)：
【福島大学 2023】
$a,p$を実数とする。曲線$C:y=2log_e x$が直線$l:y=ax$と点$P(p,ap)$で接している。このとき、以下の問いに答えなさい。
(1) 実数$p,a$の値を求めなさい。
(2) 曲線$C$と直線$x=p,y=0$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい。
(3) 関数$y=x(log_e x)^2$を$x$について微分しなさい。
(4) 曲線$C$と直線$l,y=0$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めなさい。

問題文全文(内容文)：
定積分 $I=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-3x}\sin x\,dx$ を求めよ。

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$n:$自然数
$f_n(x)=\displaystyle \int_{x}^{x+1}\displaystyle \frac{t^n}{t^{2n}+2}\ dt$は$x=1$で極値をとるときの$n$と$f_n(1)$を求めよ。

出典：東京都教員採用試験

問題文全文(内容文)：
$$nは自然数とする。
f_{ n }(x)=x^{ \frac{ 1 }{ n }}\log x (x \gt0)がx=a_{ n }で極小値をとるとき、$$
$$a_{ n }=\boxed{ エ }である。このとき、\displaystyle \sum_{i=1}^n a_n=\boxed{ オ }である。$$

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次の定積分を求めよ。ただし、$a$ は正の定数とする。

(1) $\displaystyle \int_0^1\sqrt{2x-x^2}\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^1\dfrac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$

(3) $\displaystyle \int_0^{\frac{a}{2}}\dfrac{dx}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}$

(4) $\displaystyle \int_1^2\dfrac{dx}{x^2-2x+2}$

(5) $\displaystyle \int_3^5\dfrac{dx}{x^2-4x+4}$

(6) $\displaystyle \int_6^{12}\dfrac{dx}{x^2-3x-10}$

(7) $\displaystyle \int_0^a\dfrac{dx}{(x^2+a^2)^2}$

(8) $\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}\dfrac{2x+1}{x^2+1}\,dx$