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${\large第4問}$
[1]自然数$n$に対して、$S_n=5^n-1$とする。さらに、数列$\left\{a_n\right\}$の初項から
第$n$項までの和が$S_n$であるとする。このとき、$a_1=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。また
$n \geqq 2$のとき
$a_n=\boxed{\ \ イ\ \ }・\boxed{\ \ ウ\ \ }^{n-1}$
である。この式は$n=1$の時にも成り立つ。
上で求めたことから、すべての自然数$n$に対して
$\sum_{k=1}^n\displaystyle \frac{1}{a_k}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}\left(1-\boxed{\ \ キ\ \ }^{-n}\right)$
が成り立つことが分かる。

[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、
数学的に考えることにした。
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。

上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが$2n$の長方形を$R_n$とする。
$3n$枚のタイルを用いた$R_n$内の配置の総数を$r_n$とする。
$n=1$のときは、下の図(※動画参照)のように$r_1=3$である。

また、$n=2ｎ4$ときは、下の図(※動画参照)のように$r_2=11$である。

(1)太郎さんは次のような図形$T_n$内の配置を考えた。
$(3n+1)$枚のタイルを用いた$T_n$内の配置の総数を$t_n$とする。$n=1$
のときは、$t_1=\boxed{\ \ ク\ \ }$である。
さらに、太郎さんは$T_n$内の配置について、右下隅のタイルに注目して
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$t_n=Ar_n+Bt_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$A=\boxed{\ \ ケ\ \ },　B=\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
以上から、$t_2=\boxed{\ \ サシ\ \ }$であることが分かる。
同様に、$R_n$の右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。

この図(※動画参照)から、2以上の自然数$n$に対して
$r_n=Cr_{n-1}+Dt_{n-1}$
が成り立つことが分かる。ただし、$C=\boxed{\ \ ス\ \ },　D=\boxed{\ \ セ\ \ }$である。

(2)畳を縦の長さが1,　横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3,　横の長さが6
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は$\boxed{\ \ ソタ\ \ }$である。
また、縦の長さが、横の長さがの長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、
敷き詰め方の総数は$\boxed{\ \ チツテ\ \ }$である。

2021共通テスト過去問

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数学的帰納法についての説明動画です

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8⃣ $3S_n=a_n+6n+1$のとき$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$を求めよ。

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金沢大学過去問題
$a_1=36$　(nは自然数)
$a_{n+1}=2a_n+2^{n+3}n-17・2^{n+1}$
(1)$\{ a_n \} $の一般項を求めよ。
(2)$a_n$>$a_{n+1}$となるaの範囲及び$a_n$が最小となるnの値を求めよ。
(3)$S_n=a_1+a_2+a_3+ \cdots +a_n$で$S_n$が最小となるnの値をすべて求めよ。

問題文全文(内容文)：
初項4、公差５の等差数列${a_n}$と、初項８，公差7の等差数列${b_n}$について、これら2つの数列に共通に含まれている項を、順に並べてできる数列${c_n}$の一般項を求めよ。