問題文全文(内容文)：
3辺の長さが3,4,5の三角形を底面とする高さが
10の三角錐の体積$V$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ $a$を正の実数とし、$f(x)$=$x^2$－$2ax$+$4a^2$ とする。Oを原点とする$xy$平面上の放物線C：$y$=$f(x)$の頂点をAとする。直線OAとCの交点のうちAと異なるものをP($p$,$f(p)$)とし、OからCへ引いた接線の接点をQ($q$,$f(q)$)とする。ただし、$q$＞0 とする。
(1)$p$,$q$の値を$a$を用いて表せ。また、$p$＞$q$であることを示せ。
(2)放物線Cの$q$≦$x$≦$p$の部分、線分OP、および線分OQで囲まれた図形の面積をSとおく。Sを$a$を用いて表せ。
(3)(2)のSに対し、S=$\frac{2}{3}$ となるときの$a$の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
0＜a＜1とする。曲線y=x³-x²と直線y=a²(x-1)で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるような定数aを求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
曲線$\sqrt x+\sqrt y=1,$
$x$軸,$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$放物線$C:y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$　$(a \gt 0)$における法線lの方程式を$y=f(x)$
とおくと、$f(x)=\boxed{\ \ ア\ \ }$となる。またCとlの交点のうちPと異なる方の点Qを
求めると、$Q(\boxed{\ \ イ\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ }^2)$となる。以下、Cとlで囲まれた部分をDとし、
Dをlの周りに1回転して得られる回転体の体積$V(a)$を求める。Dに含まれるl上
の点を$R(t,\ f(t))$　$(\boxed{\ \ イ\ \ }$ $\leqq t \leqq a)$とおく。Rを通りlに垂直な直線は
$y=2a(x-t)+f(t)$で与えられる。この直線と$y=x^2$の2つの交点のうち
Dに含まれる方の点Sのx座標は$x=a-\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t}$ となる。このとき
線分RSの長さ$r=g(t)$は$g(t)=\boxed{\ \ エ\ \ }(t-a+\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t})$となる。
線分QRの長さ$s=h(t)$は$h(t)=\boxed{\ \ オ\ \ }(t-\boxed{\ \ イ\ \ })$で与えられるので、
$V(a)=\pi\int_0^{h(a)}r^2ds=\pi\int_{\boxed{イ}}^a\left\{g(t)\right\}^2h'(t)dt$
$=\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_{\boxed{イ}}^a(a-t)(-\sqrt{a-t}+\boxed{\ \ ウ\ \ })^2dt$
となる。ここで$u=\sqrt{a-t}$とおいて置換積分を行えば
$V(a)=2\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_0^{\boxed{ウ}}\left\{u^5-2\boxed{\ \ ウ\ \ }u^4+(\boxed{\ \ ウ\ \ })^2u^3\right\}du=\boxed{\ \ カ\ \ }$
が求まる。さらに、$a \gt 0$の範囲で$a$を動かすとき、$\lim_{a \to +0}V(a)=\lim_{a \to \infty}V(a)=\infty$
であり、$V(a)$を最小にするaの値は$a=\boxed{\ \ キ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ ア\ \ }$の解答群
ⓐ$-\frac{2}{a}(x-a)+a^2$　ⓑ$-\frac{1}{a}(x-a)+a^2$　ⓒ$-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2$　ⓓ$-2a(x-a)+a^2$

$\boxed{\ \ イ\ \ }～\ \boxed{\ \ オ\ \ }$の解答群
ⓐ$-\frac{a^2-1}{a}$　ⓑ$-\frac{2a^2-1}{2a}$　ⓒ$-\frac{a^2+1}{a}$　ⓓ$-\frac{2a^2+1}{2a}$
ⓔ$\frac{\sqrt{a^2+4}}{2}$　ⓕ$\sqrt{a^2+1}$　ⓖ$\sqrt{4a^2+1}$　ⓗ$2a$
ⓘ$\frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a}$　ⓙ$\frac{\sqrt{a^2+4}}{a}$　ⓚ$\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}$　ⓛ$\frac{\sqrt{a^2+1}}{2a}$
ⓜ$\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}}$ ⓝ$\sqrt{\frac{4a^2+1}{2a}}$　ⓞ$\sqrt{\frac{2a^2+1}{a}}$　ⓟ$\sqrt{\frac{4a^2+1}{a}}$

$\boxed{\ \ カ\ \ }$の解答群
$ⓐ\frac{(2a^2+1)^3(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi　ⓑ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{120a^4}\ \pi　ⓒ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi$
$ⓓ\frac{(2a^2+1)^3(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi　ⓔ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{480a^4}\ \pi　ⓕ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi$
$ⓖ\frac{(a^2+1)^2(4a^2+1)^2}{120a^{\frac{7}{2}}}\ \pi　ⓗ\frac{(4a^2+1)^4}{480\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi　ⓘ\frac{(4a^2+1)^4}{120\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi$

$\boxed{\ \ キ\ \ }$の解答群
$ⓐ\frac{1}{\sqrt5}　ⓑ\frac{1}{\sqrt2}　ⓒ1　ⓓ\sqrt2　ⓔ\frac{2}{\sqrt5}　ⓕ4$

2021中央大学理工学部過去問