問題文全文(内容文)：
${12}^m=18$のとき
①mは無理数であることを証明せよ.
②$2^{\frac{2m-1}{m-2}}$の値を求めよ.

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$[2]二つの関数$f(x)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}, g(x)=\frac{2^x-2^{-x}}{2}$について考える。
(1)$f(0)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}, g(0)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$である。また、$f(x)$は
相加平均と相乗平均の関係から、$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$で最小値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$をとる。
$g(x)=-2$となるxの値は${\log }_2(\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}})$である。

(2)次の①～④は、xにどのような値を代入しても常に成り立つ。
$f(-x)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}} \dots \mathrm{①} g(-x)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}} \dots \mathrm{②}$
${\{f(-x)\}}^2-{\{g(-x)\}}^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}} \dots \mathrm{③}$　　
$g(2x)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}f(x)g(x) \dots \mathrm{④}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}、\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}$の解答群
⓪$f(x)$　　　　①$-f(x)$　　　　②$g(x)$　　　　③$-g(x)$

(3)花子:①～④は三角関数の性質に似ているね。
太郎:三角関数の加法定理に類似した式$(\text{A})～(\text{D})$を考えてみたけど、常に
成り立つ式はあるだろうか。
花子:成り立たない式を見つけるために、式$(\text{A})～(\text{D})$の$\beta$に
何か具体的な値を代入して調べてみたら?

太郎さんが考えた式
$f(\alpha -\beta )=f(\alpha )g(\beta )+g(\alpha )f(\beta ) \dots (\text{A})$　
$f(\alpha +\beta )=f(\alpha )g(\beta )+g(\alpha )f(\beta ) \dots (\text{B})$
$f(\alpha -\beta )=f(\alpha )g(\beta )+g(\alpha )f(\beta ) \dots (\text{C})$　
$f(\alpha +\beta )=f(\alpha )g(\beta )-g(\alpha )f(\beta ) \dots (\text{D})$

(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式$(\text{A})～(\text{D})$のうち、
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}$以外の3つは成り立たないことが分かる。$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}$は左辺と右辺を
それぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}$の解答群
⓪$(\text{A})$　　　①$(\text{B})$　　　②$(\text{C})$　　　③$(\text{D})$

2021共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 5}}$aを2以上の整数、pを整数とし、$s=2^{2p+1}$とおく。実数$x,y$が等式
$2^{a+1}{\log }_2{3}^x+2x{\log }_2(\frac{1}{3}{)}^x={\log }_s{9}^y$
を満たすとき、yをxの関数として表したものを$y=f(x)$とする。
(1)対数の記号を使わずに、$f(x)$を$a,p$およびxを用いて表せ。
(2)$a=2,p=0$とする。このとき、$n\leqq f(m)$を満たし、かつ、$m+n$が正となる
ような整数の組(m,n)の個数を求めよ。
(3)$y=f(x)(0\leqq x\leqq 2^{a+1})$の最大値が$2^{3a}$以下となるような整数pの
最大値と最小値を、それぞれaを用いて表せ。

2022慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$5^{25}$の百の位の数は？

東京学芸大学附属高校

問題文全文(内容文)：
曲線$C:y=e^x$を考える。
(1)$a,b$を実数とし、$a\geqq 0$とする。曲線Cと直線$y=ax+b$が共有点をもつため
のaとbの条件を求めよ。
(2)正の実数tに対し、C上の点$A(t,e^t)$を中心とし、直線$y=x$に接する円Dを
考える。直線$y=x$と円Dの接点Bのx座標は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$であり、
円Dの半径は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$である。線分ABを3:2に内分する点をPとし、Pのx座標、y座標
をそれぞれX(t),Y(t)とする。このとき、等式
$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{Y(t)-kX(t)}{\sqrt{{\{X(t)\}}^2+{\{Y(t)\}}^2}}=0$
が成り立つような実数kを定めると$k=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}$である。
ただし、$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}t{e}^{-t}=0$である。

2022慶應義塾大学理工学部過去問