大学入試問題#585「気付けば暗算」同志社大学(2004) #極限

大学入試問題#585「気付けば暗算」　同志社大学(2004)　#極限

問題文全文(内容文)：

lim_{n \to \infty} {\sqrt{n} \sin (\frac{1}{n})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n + k}}

出典：2004年同志社大学　入試問題

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#同志社大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{n \to \infty} {\sqrt{n} \sin (\frac{1}{n})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n + k}}

出典：2004年同志社大学　入試問題

投稿日：2023.07.09

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単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1,

a_{n + 1} + a_{n} = \frac{1}{n}

のとき、

lim_{n \to \infty} | n a_{n} |

を求めよ

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【数Ⅲ】極限：無限等比級数の図形への応用問題

単元： #関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #サクシード#サクシード数学Ⅲ#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
平面上で、点Pが原点Oを出発してx軸方向の正の向きに1だけ進み、次にy軸の正の向きに

\frac{3}{4}

だけ進み、次にx軸の負の向きに

{(\frac{3}{4})}^{2}

だけ進み、次にy軸の負の向きに

{(\frac{3}{4})}^{3}

だけ進む。以下、このような運動を限りなく続けるとき、点Pが近付いていく点の座標を求めよ。

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福田の数学〜東京慈恵会医科大学2023年医学部第２問〜定積分で表された関数と極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京慈恵会医科大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

nを自然数、aを正の定数とする。関数f(x)は等式

f (x) = x + \frac{1}{n} \int_{0}^{x} f (t) d t

を満たし、関数g(x)は

g (x)

a e^{- \frac{x}{n}} + a

とする。2つの曲線y=f(x)とy=g(x)はある1点を共有し、その点における2つの接線が直交するとき、次の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の底とする。
(1)h(x)=

e^{- \frac{x}{n}} f (x)

とおくとき、導関数h'(x)とh(x)を求めよ。
(2)aをnを用いて表せ。
(3)2つの曲線y=f(x), y=g(x)とy軸で囲まれた部分の面積を

S_{n}

とするとき、
極限値

lim_{n \to \infty} \frac{S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n}}{n^{3}}

　を求めよ。

2023東京慈恵会医科大学医学部過去問

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福田の数学〜神戸大学2022年理系第２問〜無限等比級数の図形への応用

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#関数と極限#図形への応用#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
mを3以上の自然数、

θ = \frac{2 π}{m}

C_{1}

を半径1の円とする。
円

C_{1}

に内接する(全ての頂点が

C_{1}

上にある)正m角形を

P_{1}

とし、

P_{1}

に内接する(

P_{1}

の全ての辺と接する)円を

C_{2}

とする。
同様に、nを自然数とするとき、円

C_{n}

に内接する正m角形を

P_{n}

とし、

P_{n}

に内接する円を

C_{n + 1}

とする。

C_{n}

の半径を

r_{n}, C_{n}

の内側
で

P_{n}

の外側の部分の面積を

s_{n}

とし、

f (m) = \sum_{n = 1}^{\infty} s_{n}

とする。以下の問いに答えよ。
(1)

r_{n}, s_{n}

の値を

θ, n

を用いて表せ。
(2)

f (m)

の値を

θ

を用いて表せ。
(3)極限値

lim_{m \to \infty} f (m)

を求めよ。
ただし必要があれば

lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^{3}} = \frac{1}{6}

を用いてよい。

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単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

x > 0, e a ≒ 2.71 ･ ･ ･

(1)

\sqrt{x} \log_{x} > - 1

を示せ.
(2)(1)を利用して

lim_{x \to + 0} x \log x = 0

を示せ.

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