問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$　有名な極限を証明(1)
(1)$x \gt 0$で$e^x \gt 1+x+\dfrac{x^2}{2}$　を示せ。
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}$　を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$m$を$0$以上の整数、$n$を$1$以上の整数、$t$を $0 < t < 1$ を満たす実数とし、$F(m, n)$を
$F(m, n)= \displaystyle \sum_{k=m}^{m+n-1} {{}_k \mathrm{ C }_m t^k}$
で定める。

(1) $p$を整数とする。
$
A = \dfrac{(t - 1) F(m + 1, n) + tF(m, n)}{t ^ p}
$
が$t$によらない値となる$p$と、そのときの$A$を求めよ。

(2)極限 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } F(m, n)$ が収束することを示し、その極限値を求めよ。ただし、$0 < s < 1$のとき
$ \displaystyle \lim_{ k \to \infty }k ^ m s ^ k$
であることは用いてよい。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $は正の無限大に発散することを用いて、
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}$が発散することを示せ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III}　色々な極限(5)\\
\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x}　(a \gt 1)\\
を2通りの方法で求めよ。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
$\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...=$
$\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...=$
それぞれの無限総和はいくつ？？