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東京大学 2021年理科・文科第４問（４）
以下の問いに答えよ。
(1)正の奇数K,Lと正の整数A,BがKA=LBを満たしているとする。Kを4で割った余りがLを4で割った余りと等しいならば、Aを4で割った余りはBを4で割った余りと等しいことを示せ。
(2)正の整数a,bがa>bを満たしているとする。このとき、$A{=}_{4a+1}{C}_{4b+1},B={}_a{\mathrm{C}}_b$に対してKA=LBとなるような正の奇数K,Lが存在することを示せ。
(3)a,bは(2)の通りとし、さらにa-bが2で割り切れるとする。${}_{4a+1}{\mathrm{C}}_{4b+1}ｗｐ4$で割った余りは${}_a{\mathrm{C}}_b$を4で割った余りと等しいことを示せ。
(4)2021C37を4で割った余りを求めよ。

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${\displaystyle \frac{3n^2-5n+218}{3n-2}}$が整数となる自然数$n$を求めよ.

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13以上の素数はすべて2つの合成数の和で表せることを示せ.

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$(x^{2020}+1{)}^{2020}+(x^2+1{)}^{2020}+1$を$x^2+x+1$で割った余りを求めよ

出典：京都大学　過去問