問題文全文(内容文)：
第5問
三角錐PABCにおいて、辺BCの中点をMとおく。また、$\mathrm{\angle }$PAB=$\mathrm{\angle }$PACとし、この角度をθをおく。0°＜ θ ＜ 90°とする。
(1)$\overrightarrow{AM}$は
$\overrightarrow{AM}$=$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}\overrightarrow{AB}$+$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}\overrightarrow{AC}$
と表せる。また
$\frac{\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AC}|}$=$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$　　...①
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$の解答群
⓪$\sin \theta$　①$\cos \theta$　②$\tan \theta$　
③$\frac{1}{\sin \theta }$　④$\frac{1}{\cos \theta }$　⑤$\frac{1}{\tan \theta }$　
⑥$\sin \mathrm{\angle }$BPC　⑦$\cos \mathrm{\angle }$BPC　⑧$\tan \mathrm{\angle }$BPC
(2)θ=45°とし、さらに
$|\overrightarrow{AP}|$=3√2,　$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{PB}|$=3,　$|\overrightarrow{AC}|$=$|\overrightarrow{PC}|$=3
が成り立つ場合を考える。このとき
$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$
である。さらに、直線AM上の点Dが$\mathrm{\angle }$APD=90°を満たしているとする。このとき、$\overrightarrow{AD}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}\overrightarrow{AM}$である。
(3)
$\overrightarrow{AQ}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}\overrightarrow{AM}$
で定まる点をQとおく。$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直である三角錐PABCはどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Qは点Dと一致し、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
(i)$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であるとき、$\overrightarrow{PQ}$を$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AP}$を用いて表して考えると、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$が成り立つ。さらに①に注意すると、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$から$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$が成り立つことがわかる。
したがって、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であれば、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$が成り立つ。逆に、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$が成り立てば、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$の解答群
⓪$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AP}$
①$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AP}$
②$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$
③$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AB}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$
④$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=0
⑤$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=0
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$の解答群
⓪$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt{2}|\overrightarrow{BC}|$
①$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$2|\overrightarrow{BC}|$
②$|\overrightarrow{AB}|\sin \theta$+$|\overrightarrow{AC}|\sin \theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
③$|\overrightarrow{AB}|\cos \theta$+$|\overrightarrow{AC}|\cos \theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
④$|\overrightarrow{AB}|\sin \theta$=$|\overrightarrow{AC}|\sin \theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
⑤$|\overrightarrow{AB}|\cos \theta$=$|\overrightarrow{AC}|\cos \theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
(ii)kを正の実数とし
$k\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$
が成り立つとする。このとき、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$が成り立つ。
また、点Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をB'とし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をC'とする。
このとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$であることと同値である。特にk=1のとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$であることと同値である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$の解答群
⓪$k|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{AC}|$　①$|\overrightarrow{AB}|$=$k|\overrightarrow{AC}|$　
②$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt{2}|\overrightarrow{AB}|$　③$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt{2}|\overrightarrow{AC}|$
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$の解答群
⓪B'とC'がともに線分APの中点
①B'とC'が線分APをそれぞれ(k+1):1と1:(k+1)に内分する点
②B'とC'が線分APをそれぞれ1:(k+1)と(k+1):1に内分する点
③B'とC'が線分APをそれぞれk:1と1:kに内分する点
④B'とC'が線分APをそれぞれ1:kとk:1に内分する点
⑤B'とC'がともに線分APをk:1に内分する点
⑥B'とC'がともに線分APを1:kに内分する点
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$の解答群
⓪$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACがともに正三角形
①$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACがそれぞれ$\mathrm{\angle }$PBA=90°, $\mathrm{\angle }$PCA=90°を満たす直角二等辺三角形
②$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACがそれぞれBP=BA, CP=CAを満たす二等辺三角形
③$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACが合同
④AP=BC

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$ Oを原点とする座標空間に2点A(0,0,1), B(0,0,-1)がある。r＞0, -π≦θ＜πに対して、2点P(r$\cos \theta$,r$\sin \theta$,0),Q($\frac{1}{r}\cos \theta$,$\frac{1}{r}\sin \theta$,0)をとり、2直線APとBQの交点をR(a,b,c)とするとき、次の問いに答えよ。
(1)a,b,cの間に成り立つ関係式を求めよ。
(2)点G(4,1,1)をとる。r,θがr$\cos \theta$=$\frac{1}{2}$を満たしながら変化するとき、内積$\overrightarrow{OG}\mathrm{・}\overrightarrow{OR}$の最大値とそのときのa,b,cの値を求めよ。

2023東京慈恵会医科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
球面の方程式の解釈と求め方について解説します。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$ Oを原点とする座標空間において、3点A(4,2,1), B(1,-4,1), C(2,2,-1)を通る平面を$\alpha$とおく。また、球面Sは半径が9で、Sと$\alpha$の交わりはAを中心としBを通る円であるとする。ただし、Sの中心Pのz座標は正とする。
(1)線分APの長さを求めよ。
(2)Pの座標を求めよ。
(3)Sと直線OCは2点で交わる。その2点間の距離を求めよ。

2023北海道大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
【数学B】平面の方程式（発展）の解説動画です
-----------------
$A(1,2,2)$を通り、$\overrightarrow{n}(3,-2,4)$に垂直な平面の方程式は?