問題文全文(内容文)：
第5問
三角錐PABCにおいて、辺BCの中点をMとおく。また、$\mathrm{\angle }$PAB=$\mathrm{\angle }$PACとし、この角度をθをおく。0°＜ θ ＜ 90°とする。
(1)$\overrightarrow{AM}$は
$\overrightarrow{AM}$=$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}\overrightarrow{AB}$+$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}\overrightarrow{AC}$
と表せる。また
$\frac{\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AC}|}$=$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$　　...①
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$の解答群
⓪$\sin \theta$　①$\cos \theta$　②$\tan \theta$　
③$\frac{1}{\sin \theta }$　④$\frac{1}{\cos \theta }$　⑤$\frac{1}{\tan \theta }$　
⑥$\sin \mathrm{\angle }$BPC　⑦$\cos \mathrm{\angle }$BPC　⑧$\tan \mathrm{\angle }$BPC
(2)θ=45°とし、さらに
$|\overrightarrow{AP}|$=3√2,　$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{PB}|$=3,　$|\overrightarrow{AC}|$=$|\overrightarrow{PC}|$=3
が成り立つ場合を考える。このとき
$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$
である。さらに、直線AM上の点Dが$\mathrm{\angle }$APD=90°を満たしているとする。このとき、$\overrightarrow{AD}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}\overrightarrow{AM}$である。
(3)
$\overrightarrow{AQ}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}\overrightarrow{AM}$
で定まる点をQとおく。$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直である三角錐PABCはどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Qは点Dと一致し、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
(i)$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であるとき、$\overrightarrow{PQ}$を$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AP}$を用いて表して考えると、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$が成り立つ。さらに①に注意すると、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$から$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$が成り立つことがわかる。
したがって、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であれば、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$が成り立つ。逆に、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$が成り立てば、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$の解答群
⓪$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AP}$
①$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AP}$
②$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$
③$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AB}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$
④$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=0
⑤$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=0
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$の解答群
⓪$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt{2}|\overrightarrow{BC}|$
①$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$2|\overrightarrow{BC}|$
②$|\overrightarrow{AB}|\sin \theta$+$|\overrightarrow{AC}|\sin \theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
③$|\overrightarrow{AB}|\cos \theta$+$|\overrightarrow{AC}|\cos \theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
④$|\overrightarrow{AB}|\sin \theta$=$|\overrightarrow{AC}|\sin \theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
⑤$|\overrightarrow{AB}|\cos \theta$=$|\overrightarrow{AC}|\cos \theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
(ii)kを正の実数とし
$k\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$
が成り立つとする。このとき、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$が成り立つ。
また、点Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をB'とし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をC'とする。
このとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$であることと同値である。特にk=1のとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$であることと同値である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$の解答群
⓪$k|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{AC}|$　①$|\overrightarrow{AB}|$=$k|\overrightarrow{AC}|$　
②$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt{2}|\overrightarrow{AB}|$　③$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt{2}|\overrightarrow{AC}|$
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$の解答群
⓪B'とC'がともに線分APの中点
①B'とC'が線分APをそれぞれ(k+1):1と1:(k+1)に内分する点
②B'とC'が線分APをそれぞれ1:(k+1)と(k+1):1に内分する点
③B'とC'が線分APをそれぞれk:1と1:kに内分する点
④B'とC'が線分APをそれぞれ1:kとk:1に内分する点
⑤B'とC'がともに線分APをk:1に内分する点
⑥B'とC'がともに線分APを1:kに内分する点
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$の解答群
⓪$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACがともに正三角形
①$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACがそれぞれ$\mathrm{\angle }$PBA=90°, $\mathrm{\angle }$PCA=90°を満たす直角二等辺三角形
②$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACがそれぞれBP=BA, CP=CAを満たす二等辺三角形
③$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACが合同
④AP=BC

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす球面の方程式を求めよ。
(1)直径の両端が2点(1,-4,3) (3,0,1)である。
(2)点(1,-2,5)を通り、3つの座標平面に接する。

問題文全文(内容文)：
【空間ベクトル】平面の方程式解説動画です
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3点$A(0,1,1),B(1,0,2),C(-3,2,3)$を通る平面の方程式は?

問題文全文(内容文)：
(1)原点Oと2点A(-1, 2, -3)、B(-3, 2, 1)に対して、p=(1-t)OA+tOBとする。｜p｜の最小値とそのときの実数tの値を求めよ。
(2)定点A(-1, -2, 1)、B(5, -1, 3)とzx平面上の動点Pに対し、AP+PBの最小値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$aを1以上の実数とし、$AB=BC=CA=1$および$AD=BD=CD=a$
を満たす四面体ABCDを考える。このとき、$\cos \mathrm{\angle }BAD=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。
また、ADの中点をEとしたとき、$\overrightarrow{EB}$を$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$を用いて表すと
$\overrightarrow{EB}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$となるので、$|\overrightarrow{EB}|=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$で、
$\overrightarrow{EB}\mathrm{・}\overrightarrow{EC}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$
である。よって、$a=1$のとき、$\cos \mathrm{\angle }BEC=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$であり、
$\mathrm{\angle }BEC=60°$となるのは$a=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$のときである。

2022慶応義塾大学看護医療学科過去問