問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

点$P, Q$を数直線の原点におき、
$1$個のさいころを投げて
出た目に応じて$P, Q$を動かす。
偶数の目が出たときは$P$を正の向きに$1$だけ動かし、
$5$または$6$の目が出たときは
$Q$を正の向きに$1$だけ動かす。
たとえば、$6$の目が出たときは$P, Q$をともに
正の向きに$1$だけ動かす。
$P$と$Q$の距離が初めて$2$となるまで
さいころを投げ続けることとし、
$P$と$Q$の距離が$2$となったら、
それ以降はさいころを投げない。
$n$回さいころを投げて$P$と$Q$の距離が
$2$となる確率を$p_n$とする。

(1)$P_2 = \boxed{シ}$である。

(2)$n$回さいころを投げて、
$P$が$Q$よりも正の向きに
$1$だけ進んでいる確率を$x_n$、
$P$と$Q$が同じ位置にある確率を$y_n$、
$Q$が$P$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を
$z_n$とすると、

$y_{n+1}=\boxed{ス}x_n+\boxed{セ}y_n+\boxed{ソ}z_n$

という関係式が成立する。

また、$x_n=\boxed{タ}z_n$が成り立つ。

ただし、$\boxed{ス}$～$\boxed{タ}$には数を記入すること。

(3)関係式

$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta(z_n+\alpha y_n)$

を満たす定数の組$(\alpha,\beta)$は$\boxed{チ}$と$\boxed{ツ}$の$2$組ある。

(4)$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{テ}$となる。

$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題

問題文全文(内容文)：
$n$を0以上の整数とする。
次の2つの条件をみたす関数$f_n(x)$を求めよ。
（ⅰ）$f_0(x)=e^x$
（ⅱ）$f_n(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}(n+t)f_{n-1}(t)dt$

出典：2012年福井大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
1-1-+1-1-+1-1...
解説動画です

問題文全文(内容文)：
数列 $ \large{ a }\scriptsize{ n } = \left(1+\frac{1}{n} \right)^n $ は増加することを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
等比数列$-2,6,-18,54,…$について、次の問いに答えよ。
（1）
一般項$a_n$を求めよ。

（2）
初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ。

（3）
初項から第$5$項までの和$S_5$を求めよ。