京都大 図形(基礎)高校数学 Japanese university entrance exam questions Kyoto University - 質問解決D.B.(データベース)

京都大 図形(基礎)高校数学 Japanese university entrance exam questions Kyoto University

問題文全文(内容文):
京都大学過去問題
1辺の長さが1の正四面体OABCのBC上に点PをとりBPの長さをxとする
(1)OAPをxで表せ。
(2)OAPの最小値

*図は動画内参照
単元: #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#京都大学#数学(高校生)#数C
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
京都大学過去問題
1辺の長さが1の正四面体OABCのBC上に点PをとりBPの長さをxとする
(1)OAPをxで表せ。
(2)OAPの最小値

*図は動画内参照
投稿日:2018.05.23

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問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)\ 三角形OABにおいて、2つのベクトル\overrightarrow{ OA }, \overrightarrow{ OB }は|\overrightarrow{ OA }|=3, |\overrightarrow{ OB }|=2,\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=2 を満たすとする。実数s,tが\\
s \geqq 0, t \geqq 0, 2s+t \leqq 1\\
を満たすとき、\overrightarrow{ OP }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }
と表されるような点Pの\\
存在する範囲の面積は\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
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問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large第5問}\\
Oを原点とする座標空間に2点A(-1,2,0), B(2,p,q)がある。ただし、q \gt 0とする。\\
線分ABの中点Cから直線OAに引いた垂線と直線OAの交点Dは、線分OAを9:1に内分\\
するものとする。また、点Cから直線OBに引いた垂線と直線OBの交点Eは、線分OBを3:2\\
に内分するものとする。\\
\\
(1)点Bの座標を求めよう。\\
|\overrightarrow{ OA }|^2=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また、\overrightarrow{ OD }=\frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}\overrightarrow{ OA }であることにより、\\
\overrightarrow{ CD }=\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\overrightarrow{ OA }-\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\overrightarrow{ OB }と表される。\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ CD }から\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\boxed{\ \ ケ\ \ } \ldots①\\
である。同様に、\overrightarrow{ CE }を\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OB }を用いて表すと、\overrightarrow{ OB } \bot \overrightarrow{ CE }から\\
|\overrightarrow{ OB }|^2=20 \ldots②\\
を得る。\\
\\
①と②、およびq \gt 0から、Bの座標は\left(2, \boxed{\ \ コ\ \ }, \sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)である。\\
\\
\\
(2)3点O,A,Bの定める平面を\alphaとし、点(4, 4, -\sqrt7)をGとする。\\
また、\alpha上に点Hを\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OB }が成り立つようにとる。\overrightarrow{ OH }を\\
\overrightarrow{ OA },\overrightarrow{ OB }を用いて表そう。\\
Hが\alpha上にあることから、実数s,tを用いて\\
\overrightarrow{ OH }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }\\
と表される。よって\\
\overrightarrow{ GH }=\boxed{\ \ シ\ \ }\ \overrightarrow{ OG }+s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }\\
である。これと、\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OA }および\overrightarrow{ GH } \bot \overrightarrow{ OB }が成り立つことから、\\
s=\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}, t=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチ\ \ }}が得られる。ゆえに\\
\overrightarrow{ OH }=\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\ \overrightarrow{ OA }+\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タチ\ \ }}\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。また、このことから、Hは\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}であることがわかる。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}の解答群\\
⓪三角形OACの内部の点\\
①三角形OBCの内部の点\\
②点O,Cと異なる、線分OC上の点\\
③三角形OABの周上の点\\
④三角形OABの内部にも周上にもない点
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\begin{eqnarray}
点Oを中心とし、半径1の円に内接する\triangle ABCが\\
\overrightarrow{ OA }+\sqrt3\overrightarrow{ OB }+2\overrightarrow{ OC }=\overrightarrow{ 0 } を満たしている。\\
(1)内積\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }, \overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OC }を求めよ。\\
(2)\triangle ABC の面積を求めよ。     \\
(3)辺BCの長さ、および頂点Aから   \\
辺BCに引いた垂線の長さを求めよ。
\end{eqnarray}
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