問題文全文(内容文)：
$1$ 辺の長さが $2$ の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ において、辺 $\mathrm{AD}$ 上の点 $\mathrm{E}$、辺 $\mathrm{DC}$ 上の点 $\mathrm{F}$、辺 $\mathrm{CA}$ 上の点 $\mathrm{G}$、辺 $\mathrm{BC}$ 上の点 $\mathrm{H}$ を$\mathrm{AE}$$=\mathrm{DF}$$=\mathrm{CG}$$=2t,$ $\mathrm{BH}=t$ となるようにとる。ただし、 $0 \leqq t \leqq 1$ とする。
$(1)$ $\triangle \mathrm{EFG}$ の面積は $\sqrt{\fbox{ア}}(\fbox{イ}t^2$$+\fbox{ウ}t$$+\fbox{エ})$ である。
$(2)$ $\mathrm{B}$ から平面 $\mathrm{ACD}$ に垂線を下ろし、平面 $\mathrm{ACD}$ との交点を $\mathrm{P}$ とするとき、 $\mathrm{BP} = \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}\sqrt{\fbox{キ}}$ である。
$(3)$ $\mathrm{H}$ から平面 $\mathrm{EFG}$ に垂線を下ろし、平面 $\mathrm{EFG}$ との交点を $\mathrm{Q}$ とするとき、 $\mathrm{HQ} = \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}\sqrt{\fbox{コ}}(t+\fbox{サ})$ である。
$(4)$ 四面体 $\mathrm{HEFG}$ の体積が最小になるのは
$t=\fbox{シ} + \frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}}\sqrt{\fbox{ソ}}$

問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

以下の問いに答えよ。

(1)実数$r,\alpha$は$0\lt r \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。

$xy$平面内で、点$(1,0)$を中心にもつ半径$r$の

円周およびその内部を$C$とする。

$C$を原点$(0,0)$を中心に反時計回りに角度$\alpha$だけ

回転させるとき、$C$が通過する領域の面積を求めよ。

(2)実数$R,\alpha$は$0\lt R \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。

$xyz$空間内で、点$(1,0,0)$を中心にもつ半径$R$の

球面およびその内部を$B$とする。

$B$を$z$軸のまわりに角度$\alpha$だけ回転させるとき、

$B$が通過する領域の体積を求めよ。

ただし、回転の向きは回転後の$B$の中心が

$(\cos \alpha,\sin \alpha,0)$になるように選ぶものとする。

$2025$年名古屋大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
$x^2+px+q=0$は2つの実数解$\alpha,\beta(\alpha \neq \beta)$をもつ。
$f(x)=x^3-9x+6$とすると$f(\alpha)=\beta,f(\beta)=\alpha$を満たす。
$p,q$を求めよ。

出典：1998年県立広島大学　過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$　$(2)0 \lt \alpha \lt 1,m \gt 0$とする。$曲線y=x^{\alpha}-mx(x \geqq 0)$と$x軸$で囲まれた図形を$x軸$の周りに1回転させてできる回転体の体積を$V$とする。$m$を固定して$a \to +0$とするときの$V$の極限値を$m$の式で表すと、$\lim_{a \to +0}V=\boxed{\ \ (え)\ \ }$となる。
また、$\alpha$を固定して$m \to \infty$とするとき$m^3V$が$0$でない数に収束するならば
$\alpha=\boxed{\ \ (お)\ \ }$である。

2021慶應義塾大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ $n$を自然数とする。以下の問いに答えよ。
(1)1個のサイコロを投げて出た目が必ず$n$の約数となるような$n$を小さい順に3つ求めよ。
(2)1個のサイコロを投げて出た目が$n$の約数となる確率が$\displaystyle\frac{5}{6}$であるような$n$を小さい順に3つ求めよ。
(3)1個のサイコロを3回投げて出た目の積が160の約数となる確率を求めよ。