大学入試問題#833「計算力大事！」 #筑波大学(2023) #定積分

問題文全文(内容文)：
関数

f (x)

の導関数

g (x)

は定数

k (\neq 0)

を用いて次式で与えられる。

g (x) = \frac{e^{k x} - e^{k x}}{2}

次の問いに答えよ。
１．

f (0) = 0

であるとき

f (x)

を求めよ。
２．

p

は定数とする。
　　

\int_{0}^{p} \frac{1}{\sqrt{1 + {g (x)}}} g^{'} (x) d x

を求めよ

出典：2023年筑波大学　入試問題

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
関数

f (x)

の導関数

g (x)

は定数

k (\neq 0)

を用いて次式で与えられる。

g (x) = \frac{e^{k x} - e^{k x}}{2}

次の問いに答えよ。
１．

f (0) = 0

であるとき

f (x)

を求めよ。
２．

p

は定数とする。
　　

\int_{0}^{p} \frac{1}{\sqrt{1 + {g (x)}}} g^{'} (x) d x

を求めよ

出典：2023年筑波大学　入試問題

投稿日：2024.05.30

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(3)

k

を自然数として、

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(1 + 4 x^{2 k})^{n - 1}}

とおく。このとき、

lim_{x \to 0} f (x) = カ

となる。

カ

の解答群

⓪ 0 ① 1 ② 2 ③ \frac{1}{2} ④ 4

⑤ \frac{1}{4} ⑥ 2^{k} ⑦ \frac{1}{2^{k}} ⑧ 4^{k} ⑨ \frac{1}{4^{k}}

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

qを実数とする。座標平面上に円C：

x^{2}

y^{2}

=1と放物線P：y=

x^{2}

+q がある。
(1)CとPに同じ点で接する傾き正の直線が存在するとき、qの値およびその接点の座標を求めよ。
(2)(1)で求めたqの値を

q_{1}

、接点のy座標を

y_{1}

とするとき、連立不等式

{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} ≧ 1 \\ y ≧ x^{2} + q_{1} \\ y ≦ y_{1} \end{matrix}

の表す領域の面積を求めよ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 0} \frac{x (e^{3 x} - 1)}{1 - \cos x}

を求めよ。

出典：2014年津田塾大学　入試問題

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 5,

a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2

\frac{a_{16} - a_{13}}{a_{12} - a_{9}}

の値を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
mは3以上の奇数とし、mの全ての正の約数を

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}

と並べる。
ただし、

a_{1} < a_{2} < \dots < a_{k}

とする。
以下の2つの条件

(i), (ii)

を満たすmについて考える。

(i) m

は素数ではない。

(ii) i ≦ j, 1 < i < k, 1 < j < k

を満たす全ての整数i,jについて

a_{j} - a_{i} ≦ 3

が
成り立つ。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)kは3または4であることを示し、mを

a_{2}

を用いて表せ。
(2)

k = 3

となるとき、全ての正の整数nについて

(a_{2} n + 1)^{a_{2}} - 1

は
mの倍数であることを示せ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 大学入試問題#833「計算力大事！」 #筑波大学(2023) #定積分

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