問題文全文(内容文)：
$-1\leqq t\leqq 1$である.
曲線$x=t^3,y=t^2-1$と$x$軸で囲まれた
図形を$x$軸中心に回転した体積$V$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$

座標平面上の点

$A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(1,0)$を考える。

実数$0\lt t \lt 1$に対して、

線分$AB,BC,CD$を$t:(1-t)$に内分する点を

それぞれ$S_t,T_t$とする。

さらに、線分$S_tT_t$を$t:(1-t)$に内分する点を

$U_t$とする。

また、点$A$を$U_0$、点$D$を$U_1$とする。

(1)点$U_t$の座標を求めよ。

(2)$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くときに

点$U_t$描く曲線と、

線分$AD$で囲まれた部分の面積を求めよ。

(3)$a$を$0\lt a\lt 1$を満たす実数とする。

$t$が$0\leqq t \leqq a$の範囲を動くときに点$U_t$が

描く曲線の長さを、$a$の多項式の形で求めよ。

図は動画内参照

$2025$年東京大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
$\boxed{3} a\gt 0$とする。座標平面で、原点$O$を中心とする半径$a$の定円を$C_1$とし、$C_1$と外接する半径$a$の円を$C_2$とする。円$C_2$が定円$C_1$と外接しながらすべることなく転がるとき、$C_2$上の定点$P$が描く曲線を考えたい。始めに$C_2$の中心が$(2a,0)$にあり、$P$が$(a,0)$にあるとする。$C_2$の中心が点$(2a,0)$から原点$O$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転した位置にきたとき、$C_1$と$C_2$の接点を通る$C_1$と$C_2$の共通の接線を$l_θ$とする。$l_θ$の方程式は$a=(\boxed{ア})x+(\boxed{イ})y$である。このとき、$P$は直線$l_θ$に関して$(a,0)$と対称な点であるので、$P$の座標を$(x,y)$とすると、$P$の軌跡は$θ$を媒介変数として$x=2a(\boxed{ウ})cosθ+a, y=2a(\boxed{ウ})sinθ$と表される。
$x$と$y$をそれぞれ$θ$で微分すると$\frac{dx}{dθ}=2a(\boxed{エ}),\frac{dy}{dθ}=2a(\boxed{オ})$となるので、$θ$が0から2まで動くとき、$P$が描く曲線の長さは$\boxed{カキ}a$である。

問題文全文(内容文)：
$0\leqq t\leqq \pi$とする.
$x=\cos t+ \cos 2t$
$y=2\sin t- \sin 2t$
の曲線の長さ$L$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
①$x、y$が$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{8}=1$を満たす実数のとき、
$2x^2+xy+y^2$の最大値、最小値を求めよ。