問題文全文(内容文)：
長崎大学過去問題
(1)$x^3=1$を解け
(2)$α=m+\sqrt7ni$とすると、$α^3=225+2\sqrt7i$が成り立つ。整数m,nを求めよ。
(3)$β^3=225+2\sqrt7i$を満たす複素数βをすべて求めよ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

複素数平面上で、複素数$z$が円$\vert z \vert=1$の上の点を動くとき、

$w=\left(\dfrac{1+\sqrt2}{2}\right)z+\left(\dfrac{1-\sqrt2}{2}\right)\dfrac{1}{z}$

を満たす点$w$の軌跡を$C$とする。

次の問いに答えよ。

(1)$C$はどのような図形か。複素数平面上に図示せよ。

(2)$C$と円$\left \vert z-\dfrac{2+\sqrt2}{2}\right \vert =\sqrt2$の共有点を求めよ。

(3)$C$で囲まれる領域と$\left \vert z-\dfrac{2+\sqrt2}{2}\right \vert \leqq \sqrt2$の

表す領域の共通部分の面積を求めよ。

$2025$年早稲田大学理工学部過去問題

問題文全文(内容文)：
$c$を実数とする。$x$についての2次方程式
$x^2+(3-2c)x+c^2+5=0$が2つの解$\alpha,\ \beta$を持つとする。
複素平面上の3点$\alpha,\beta,c^2$が三角形の3頂点になり、その三角形の重心は$0$であるという。
$c$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
①$z^4=-8+8\sqrt3i$　を解け。
②$z=\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}+\displaystyle \frac{1}{2}i$　のとき、$(1+\sqrt3i)z^n+2i=0$
を満たす最小の自然数$n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ さいころを2回ふって出た目の数を順に$a$, $b$とし、複素数$\alpha$, $\beta$を
$\alpha$=$\displaystyle\cos\frac{a\pi}{3}$+$\displaystyle i\sin\frac{a\pi}{3}$,　$\beta$=$\displaystyle\cos\frac{b\pi}{3}$+$\displaystyle i\sin\frac{b\pi}{3}$
と定める($i$は虚数単位)。また、$\alpha$－$\beta$の絶対値を$d$=|$\alpha$－$\beta$|とおく。
(1)$d$のとりうる値は、小さいものから順に0, $\boxed{\ \ ア\ \ }$, $\boxed{\ \ イ\ \ }$, $\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。
$d$=0, $\boxed{\ \ ア\ \ }$, $\boxed{\ \ イ\ \ }$, $\boxed{\ \ ウ\ \ }$が成り立つ確率はそれぞれ$\boxed{\ \ エ\ \ }$, $\boxed{\ \ オ\ \ }$, $\boxed{\ \ カ\ \ }$, $\boxed{\ \ キ\ \ }$である。
(2)$\alpha$－$\beta$が実数となる確率は$\boxed{\ \ ク\ \ }$であり、$\alpha$－$\beta$が実数という条件の下で$d$＜$\boxed{\ \ ウ\ \ }$が成り立つ条件付き確率は$\boxed{\ \ ケ\ \ }$である。
(3)$\alpha^2$=$\beta^3$という条件の下で$\alpha+\beta$の虚部が正となる条件付き確率は$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。