福田の数学〜神戸大学2024年理系第5問〜定積分で表された関数と不等式

問題文全文(内容文)：

5

0以上の実数

x

に対して、

f (x)

\frac{1}{2} \int_{- x}^{x} \frac{1}{1 + u^{2}} d u

と定める。以下の問いに答えよ。
(1)0≦

α

＜

\frac{π}{2}

　を満たす実数

α

に対して、

f (\tan α)

を求めよ。
(2)

x y

平面上で、次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
0≦

x

≦1,　0≦

y

≦1,　

f (x)

f (y)

≦

f (1)

またその領域の面積を求めよ。

単元： #積分とその応用#定積分#神戸大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

0以上の実数

x

に対して、

f (x)

\frac{1}{2} \int_{- x}^{x} \frac{1}{1 + u^{2}} d u

と定める。以下の問いに答えよ。
(1)0≦

α

＜

\frac{π}{2}

　を満たす実数

α

に対して、

f (\tan α)

を求めよ。
(2)

x y

平面上で、次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
0≦

x

≦1,　0≦

y

≦1,　

f (x)

f (y)

≦

f (1)

またその領域の面積を求めよ。

投稿日：2024.06.11

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単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【北海道大学 2024】
関数

f (x) = x l o g (x + 2) + 1 (x ＞ - 2)

を考える。

y = f (x)

で表される曲線を

C

とする。

C

の接線のうち傾きが正で原点を通るものを

l

とする。ただし、

l o g t

は

t

の自然対数である。
(1) 直線

l

の方程式を求めよ。
(2) 曲線

C

は下に凸であることを証明せよ。
(3)

C

と

l

および

y

軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

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福田の入試問題解説〜東京大学2022年理系第１問〜最小値の存在と定積分の計算

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次の関数f(x)を考える。

f (x) = (\cos x) \log (\cos x) - \cos x + \int_{0}^{x} (\cos t) \log (\cos t) d t (0 ≦ x < \frac{π}{2})

(1)f(x)は区間

0 ≦ x < \frac{π}{2}

において最小値を持つことを示せ。
(2)f(x)は区間

0 ≦ x < \frac{π}{2}

における最小値を求めよ。

2022東京大学理系過去問

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大学入試問題#442「難しくはないが、技をかけないと大変かも」　香川大学　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#香川大学#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\sin^{5} x \cos x) e^{2 \sin x} d x

出典：香川大学　入試問題

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#茨城大学2024_1#定積分

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#茨城大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{5} x \cos x

d x

出典：2024年茨城大学

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大学入試問題#599「King-propertyは使ってません」　南山大学(2013)　定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#南山大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a > 0

\int_{- a}^{a} \frac{| x | e^{x}}{(1 + e^{x})^{2}} d x

出典：2013年南山大学　入試問題

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜神戸大学2024年理系第5問〜定積分で表された関数と不等式

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