問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(定積分と不等式の証明)

①$0≦x≦1$のとき、$1-x^2≦1-x^4≦1$が成り立つことを示せ。
②不等式$\frac{\pi}{4} \lt \int_0^1\sqrt{1-x^4}dx \lt 1$を示せ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 座標平面上の曲線y=$\frac{1}{x^2}$ (x $\ne$ 0)をCとする。$a_1$を正の実数とし、点$A_1$$\left(a_1, \frac{1}{a_1^2}\right)$におけるCの接線を$l_1$とする。$l_1$とCの交点で$A_1$と異なるものを$A_2$$\left(a_2, \frac{1}{a_2^2}\right)$とする。次に点$A_2$におけるCの接線を$l_2$とCの交点で$A_2$と異なるものを$A_3$$\left(a_3, \frac{1}{a_3^2}\right)$とする。以下、同様にしてn=3,4,5,...に対して、$A_n$$\left(a_n, \frac{1}{a_n^2}\right)$におけるCの接線を$l_n$とし、$l_n$とCの交点で$A_n$と異なるものを$A_{n+1}$$\left(a_{n+1}, \frac{1}{a_{n+1}^2}\right)$とする。
(1)$\frac{a_2}{a_1}$=$\boxed{\ \ あ\ \ }$であり、$\frac{a_3}{a_1}$=$\boxed{\ \ い\ \ }$である。
(2)$a_n$を$a_1$で表すと$a_n$=$\boxed{\ \ う\ \ }$である。無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$の和をTを$a_1$を用いて表すとT=$\boxed{\ \ え\ \ }$である。
(3)$a_1$を正の実数すべてにわたって動かすとき、三角形$A_1A_2A_3$の重心が描く軌跡の方程式をy=f(x)の形で求めるとf(x)=$\boxed{\ \ お\ \ }$となる。
(4)三角形$A_1A_2A_3$が鋭角三角形になるための条件は$\boxed{\ \ か\ \ }$＜$a_1$＜$\boxed{\ \ き\ \ }$である。
(5)x軸上に2点$A'_1$($a_1$, 0), $A'_2$($a_2$, 0)をとり、台形$A_1A_2A'_2A'_1$の面積を$S_1$とする。また、点$A_1$から点$A_3$にいたる曲線Cの部分、および線分$A_3A_2$と$A_2A_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする。このとき、$S_1$：$S_2$=$\boxed{\ \ く\ \ }$：$\boxed{\ \ け\ \ }$である。ただし、$\boxed{\ \ く\ \ }$と$\boxed{\ \ け\ \ }$は互いに素な自然数である。

2023慶應義塾大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
(1)$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{k^2}{n^3}+\dfrac{3k}{n^2}+\dfrac{1}{n} \right)$を求めよ.
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2k+n}$を求めよ.
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \sum_{k=n+1}^{3n}\dfrac{1}{\sqrt{kn}}$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
(1)すべての実数$x$に対して
$sin3x=3sinx-4sin^3x$
$cos3x=-3cosx+4cos^3x$
が成り立つことを、加法定理と2倍角の公式を用いて示せ。
(2)実数$θ$を、$\displaystyle\frac{π}{3}＜θ＜\frac{π}{2}$と$cos3θ=\displaystyle-\frac{11}{16}$を同時に満たすものとする。このとき、$cosθ$を求めよ。
(3)(2)の$θ$に対して、定積分$\displaystyle\int_0^θsin^5xdx$を求めよ。
【高知大学 2023】

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　(3)\ 不等式\\
1 \leqq z \leqq 4,\ \frac{x^2}{z^2}+4z^4y^2 \leqq 1\\
が表す座標空間内の領域の体積は\boxed{\ \ え\ \ }である。\\
\\
\boxed{\ \ え\ \ }の選択肢:\\
(\textrm{a})\frac{3\pi}{2}　　(\textrm{b})3\pi　　(\textrm{c})\frac{3\pi^2}{2}　　(\textrm{d})3\pi^2\\
(\textrm{e})\pi\log 2　　(\textrm{f})\frac{\pi\log 2}{2}　　(\textrm{g})3\pi^2\log 2　　
\end{eqnarray}

2021上智大学理系過去問