問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第5問}\\
1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さをaとする。\\
(1)1辺の長さが1の正五角形OA_1B_1C_1A_2を考える。\\
\\
\angle A_1C_1B_1=\boxed{\ \ アイ\ \ }°、\angle C_1A_1A_2=\boxed{\ \ アイ\ \ }°となることから、\overrightarrow{ A_1A_2 }と\\
\overrightarrow{ B_1C_1 }は平行である。ゆえに\\
\overrightarrow{ A_1A_2 }=\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ B_1C_1 }\\
であるから\\
\overrightarrow{ B_1C_1 }=\frac{1}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}\overrightarrow{ A_1A_2 }=\frac{1}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}(\overrightarrow{ OA_2 }-\overrightarrow{ OA_1 })\\
また、\overrightarrow{ OA_1 }と\overrightarrow{ A_2B_1 }は平行で、さらに、\overrightarrow{ OA_2 }と\overrightarrow{ A_1C_1 }も平行であることから\\
\overrightarrow{ B_1C_1 }=\overrightarrow{ B_1A_2 }+\overrightarrow{ A_2O }+\overrightarrow{ OA_1 }+\overrightarrow{ A_1C_1 }=-\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_1 }-\overrightarrow{ OA_2 }+\overrightarrow{ OA_1 }+\\
\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_2 }=\left(\boxed{\ \ エ\ \ }-\boxed{\ \ オ\ \ }\right)(\overrightarrow{ OA_2 }-\overrightarrow{ OA_1 })\\
となる。したがって\\
\frac{1}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}=\boxed{\ \ エ\ \ }-\boxed{\ \ オ\ \ }\\
が成り立つ。a \gt 0に注意してこれを解くと、a=\frac{1+\sqrt5}{2}を得る。\\
\\
\\
(2)下の図(※動画参照)のような、1辺の長さが1の正十二面体を考える。正十二面体とは、\\
どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっている\\
へこみのない多面体のことである。\\
\\
面OA_1B_1C_1A_2に着目する。\overrightarrow{ OA_1 }と\overrightarrow{ A_2B_1 }が平行であることから\\
\overrightarrow{ OB_1 }=\overrightarrow{ OA_2 }+\overrightarrow{ A_2B_1 }=\overrightarrow{ OA_2 }+\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_1 }\\
である。また\\
|\overrightarrow{ OA_2 }-\overrightarrow{ OA_1 }|^2=|\overrightarrow{ A_1A_2 }|^2=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\\
に注意すると\\
\overrightarrow{ OA_1 }・\overrightarrow{ OA_2 }=\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }-\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }}}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\\
を得る。\\
\\
次に、面OA_2B_2C_2A_2に着目すると\\
\overrightarrow{ OB_2 }=\overrightarrow{ OA_3 }+\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_2 }\\
である。さらに\\
\overrightarrow{ OA_2 }・\overrightarrow{ OA_3 }=\overrightarrow{ OA_3 }・\overrightarrow{ OA_1 }=\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }-\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }}}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\\
が成り立つことがわかる。ゆえに\\
\overrightarrow{ OA_1 }・\overrightarrow{ OB_2 }=\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }},　\overrightarrow{ OB_1 }・\overrightarrow{ OB_2 }=\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}\\
である。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }},　\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪0　①1　②-1　③\frac{1+\sqrt5}{2}　\\
④\frac{1-\sqrt5}{2}　⑤\frac{-1+\sqrt5}{2}　⑥\frac{-1-\sqrt5}{2}　⑦-\frac{1}{2}\\
⑧\frac{-1+\sqrt5}{4}　⑨\frac{-1-\sqrt5}{4}　\\
\\
\\
最後に、面A_2C_1DEB_2に着目する。\\
\overrightarrow{ B_2D }=\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ A_2C_1 }=\overrightarrow{ OB_1 }\\
であることに注意すると、4点O,B_1,D,B_2は同一平面上にあり、四角形\\
OB_1DB_2は\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}ことがわかる。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}の解答群\\
⓪正方形である\\
①正方形ではないが、長方形である\\
②正方形ではないが、ひし形である\\
③長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である\\
④平行四辺形ではないが、台形である\\
⑤台形でない\\
\\
(ただし、少なくとも1組の対辺が平行な四角形を台形という)
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}　点Oを原点とする座標平面上の点P,Q,Rを、ベクトル\overrightarrow{ a }=(2,1),\overrightarrow{ b }=(1,2)を用い、\\
位置ベクトル\overrightarrow{ OP }=f(t)\overrightarrow{ a },　\overrightarrow{ OQ }=f(t+2)\overrightarrow{ a },　\overrightarrow{ OR }=g(t)\overrightarrow{ b }で定める。\\
ここで、f(t),g(t)は、実数tを用いて、\\
f(t)=9t^2+1,　g(t)=\frac{1}{8}(t^2-6t+9)で表される。\\
(1)\overrightarrow{ a }と\overrightarrow{ b }のなす角を\thetaとする。ただし、0 \leqq \theta \leqq \piとする。このとき、\\
\sin\theta=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}　である。\\
\\
(2)t=-\boxed{\ \ ウ\ \ }のとき、点Pと点Qが一致する。それ以外のとき、点P,Q,Rは\\
異なる3点となり、t=\boxed{\ \ エ\ \ }のときその3点が一直線上に並ぶ。\\
\\
(3)-\frac{4}{3} \leqq t \leqq 4の範囲において、上記(2)以外のとき、\triangle PQRの面積は\\
t=\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}で最大値\boxed{\ \ キク\ \ }をとる。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
平面上で原点Oと3点A(3,1)B(1,2)C(-1,1)を考える。実数s,tに対し、点PをOP=sOA+tOBにより定める。
(1)s,tが条件-1≦s≦1,-1≦t≦1,-1≦s+t≦1を満たすとき点P(x,y)の存在する範囲Dを図示しよう。
(2)点Pが(1)で求めた範囲Dを動くとき、内積OP・OCの最大値を求め、そのときのPの座標を求めよう。

問題文全文(内容文)：
三角形OABがあり、OA=2,OB=1,∠AOB=120°である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。またOB=a,OB=bとする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)OH=kOD(kは実数)と表される点Hがある。CT⊥ODとなるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを∠AOD=∠PODとなるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
内積の基本計算（直角三角形ABCにおける内積計算)