福田の数学〜九州大学2023年文系第3問〜ベクトルの平行条件と内積

問題文全文(内容文)：

3

点Oを原点とする座標平面上の

\vec{0}

でない2つのベクトル

\vec{m}

a

c

\vec{n}

b

d

)
に対して、D=ad-bc とおく。以下の問いに答えよ。
(1)

\vec{m}

と

\vec{n}

が平行であるための必要十分条件はD=0であることを示せ。
以下、D≠0とする。
(2)座標平面上のベクトル

\vec{v}

\vec{w}

で

\vec{m}

・

\vec{v}

\vec{n}

・

\vec{w}

=1,　

\vec{m}

・

\vec{w}

\vec{n}

・

\vec{v}

=0
を満たすものを求めよ。
(3)座標平面上のベクトル

\vec{q}

に対して

r \vec{m}

s \vec{n}

\vec{q}

を満たす実数

r

と

s

を

\vec{q}

\vec{v}

\vec{w}

を用いて表せ。

2023九州大学文系過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

点Oを原点とする座標平面上の

\vec{0}

でない2つのベクトル

\vec{m}

a

c

\vec{n}

b

d

)
に対して、D=ad-bc とおく。以下の問いに答えよ。
(1)

\vec{m}

と

\vec{n}

が平行であるための必要十分条件はD=0であることを示せ。
以下、D≠0とする。
(2)座標平面上のベクトル

\vec{v}

\vec{w}

で

\vec{m}

・

\vec{v}

\vec{n}

・

\vec{w}

=1,　

\vec{m}

・

\vec{w}

\vec{n}

・

\vec{v}

=0
を満たすものを求めよ。
(3)座標平面上のベクトル

\vec{q}

に対して

r \vec{m}

s \vec{n}

\vec{q}

を満たす実数

r

と

s

を

\vec{q}

\vec{v}

\vec{w}

を用いて表せ。

2023九州大学文系過去問

投稿日：2023.06.17

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

| \vec{a} | = 5, | \vec{b} | = 3, | \vec{c} | = 1

\vec{Z} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}

（1）

| \vec{Z} |

の最大値、最小値
（2）

\vec{a} ・ \vec{Z} = 20

をみたすとき

| \vec{Z} |

の最大値、最小値を求めよ

出典：2006年一橋大学　入試問題

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問題文全文(内容文)：
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問題文全文(内容文)：

1

(4)三角形

O A B

において、2つのベクトル

\vec{O A}, \vec{O B}

は

| \vec{O A} | = 3, | \vec{O B} | = 2

\vec{O A} ・ \vec{O B} = 2

　を満たすとする。実数s,tが

s ≧ 0, t ≧ 0, 2 s + t ≦ 1

を満たすとき、

\vec{O P} = s \vec{O A} + t \vec{O B}

と表されるような点Pの
存在する範囲の面積は

カ

である。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
平面上に三角形ABCと点Pがあり、点Pは、ある正の定数tに対して

3 t \vec{A P} + t^{2} \vec{B P} + 4 \vec{C P} = \vec{0}

を満たすとする。

\vec{b} = \vec{A B}, \vec{c} = \vec{A C}

とおく。
(1)

\vec{B P}

を、

\vec{b}

と

\vec{A P}

を用いて表せ。
(2)

\vec{A P} = v \vec{b} + w \vec{c}

となる実数v,wを、tを用いて表せ。
(3)直線APと直線BCの交点をDとする。

\vec{A D} = x \vec{b} + y \vec{c}

となる実数x,yを、tを用いて表せ。
(4)

\frac{S_{2}}{S_{1}}

を、tを用いて表せ。
(5)tが正の実数全体を動くとき、

\frac{S_{2}}{S_{1}}

が最大となるtの値を求めよ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜九州大学2023年文系第3問〜ベクトルの平行条件と内積

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