問題文全文(内容文)：
次の和$S_n$を求めよ。
$S_n=\dfrac{3}{1^2}+\dfrac{5}{1^2+2^2}+\dfrac{7}{1^2+2^2+3^2}+...+\dfrac{2n+1}{1^2+2^2+3^2+...+n^2}$

問題文全文(内容文)：
次の条件で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよう.

①$a_1=2,a_{n+1}=2a_n+2^{n+1}$

②$a_1=1,9a_{n+1}=a_n+\dfrac{4}{3^n}$

問題文全文(内容文)：

$\boxed{5}$

投げたときに表と裏の出る確率が

それぞれ$\dfrac{1}{2}$のコインがある。

$A,B,C$の$3$文字を$BAC$のように$1$個ずつ

すべて並べて得られる文字列に対して、

コインを投げて次の操作を行う。

・表がで出たら文字列の左から$1$文字目と
　$2$文字目を入れかえる。

・裏がで出たら文字列の左から$2$文字目と
　$3$文字目を入れかえる。

例えば、文字列が$BAC$であるときに、

$2$回続けてコインを投げて表、裏の順に出た

とすると、文字列は$BAC$から$ABC$を経て

$ACB$となる。

最初の文字列は$ABC$であるとする。

コインを$n$回続けて投げたあとの文字列が

$ABC$である確率を$p_n$とし、

$BCA$である確率を$q_n$とする。

(1)$k$を正の整数とするとき、

$p_{2k}-q_{2k}$を求めよ。

(2)$n$を正の整数とするとき、

$p_n$を求めよ。

$2025$年大阪大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
次の数列の和を求めよ。
$1・1,　4・3,　7・3^2,$$　10・3^3,$$　\cdots,$$　(3n-2)・3^{n-1}$

次の和を求めよ。
$S=2・\left(\frac{1}{3}\right)+4・\left(\frac{1}{3}\right)^2$$+6・\left(\frac{1}{3}\right)^3$$+\cdots$$+2n・\left(\frac{1}{3}\right)^n$

問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
数列$\left\{a_n\right\}$は、初項$a_1$が$0$であり、$n=1,2,3,\cdots$のとき次の漸化式を
満たすものとする。
$a_{n+1}=$$\displaystyle \frac{n+3}{n+1}\{3a_n+3^{n+1}-$$(n+1)(n+2)\}$　$\cdots$①

(1)$a_2=\boxed{\ \ ア\ \ }$　である。

(2)$b_n=\displaystyle \frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}$とおき、数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を求めよう。
$\left\{b_n\right\}$の初項$b_1$は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。①の両辺を$3^{n+1}(n+2)(n+3)$で
割ると
$b_{n+1}=b_n$$+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\left(n+\boxed{\ \ エ\ \ }\right)\left(n+\boxed{\ \ オ\ \ }\right)}$$-\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{n+1}$

を得る。ただし、$\boxed{\ \ エ\ \ } \lt \boxed{\ \ オ\ \ }$とする。

したがって

$b_{n+1}-b_n=$$\left(\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{n+\boxed{\ \ エ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{n+\boxed{\ \ オ\ \ }}\right)$$-\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{n+1}$
である。

$n$を2以上の自然数とするとき

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{k+\boxed{\ \ エ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{k+\boxed{\ \ オ\ \ }}\right)$$=\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\left(\displaystyle \frac{n-\boxed{\ \ ケ\ \ }}{n+\boxed{\ \ コ\ \ }}\right)$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{k+1}=$$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^n$

が成り立つことを利用すると

$b_n=\displaystyle \frac{n-\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }\left(n+\boxed{\ \ チ\ \ }\right)}$$+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^n$

が得られる。これは$n=1$のときも成り立つ。

(3)(2)により、$\left\{a_n\right\}$の一般項は
$a_n=\boxed{\ \ ツ\ \ }^{n-\boxed{テ}}\left(n^2-\boxed{\ \ ト\ \ }\right)+$$\displaystyle \frac{\left(n+\boxed{\ \ ナ\ \ }\right)\left(n+\boxed{\ \ ニ\ \ }\right)}{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$

で与えられる。ただし、$\boxed{\ \ ナ\ \ } \lt \boxed{\ \ ニ\ \ }$とする。
このことから、すべての自然数$n$について、
$a_n$は整数となることが分かる。

(4)$k$を自然数とする。$a_{3k},a_{3k+1},a_{3k+2}$で割った余りはそれぞれ
$\boxed{\ \ ネ\ \ },$　$\boxed{\ \ ノ\ \ },$　$\boxed{\ \ ハ\ \ }$である。また、$\left\{a_n\right\}$の初項から
第2020項までの和を$3$で割った余りは$\boxed{\ \ ヒ\ \ }$である。

2020センター試験過去問