問題文全文(内容文)：
上智大学過去問題
$a_1 =0,b_1=6$
$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$,$b_{n+1}=a_n$
点Pの$(a_n,b_n)$はある直線上にある。その式は？
$n \to \infty$のときの$P_n$

問題文全文(内容文)：
群数列　$1\ | \ 3　5 \ |\ 7　9　11$$ \ |\ 13　15　17　19$$ \ | \ 21 \cdots$について次を求めよ。
(1)第$n$群の初項
(2)第$n$群の総和
(3)301は第何群の何番目か


正の奇数の列$\left\{a_n\right\}$を次のように第$k$群に$2^{k-1}$個の項を含むように分ける。
$1\ | \ 3　5 \ |\ 7　9　11　13 $$\ | \ 15　17　19　21　$$23　25　27　29 $$\ | \ 31 \cdots$
(1)第$n$群の初項を求めよ。
(2)777は第何群の何番目か。

問題文全文(内容文)：
弘前大学過去問題
$a_1 = 2$
$a_{n+1}= \frac{n+2}{n}a_n+1$

問題文全文(内容文)：
奇数の列を,下のように,1個,2個,4個,8個,･･･となるように群に分ける.

$ 1 | 3,5 | 7,9,11,13 | 15,17,･･･$

①第$n$群の奇数の和を求めよう.

②第8群の5番目の数を求めよう.

問題文全文(内容文)：
複数の玉が人った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、nを自然数として、以下の間いに答えよ。
(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},　p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$
( 2 )袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が人っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の球を袋に戻す試行を繰り返す。n回目の試行において赤玉が取り出される確率を$p_{ n }$とすると、次式が成り立つ。
$p_{ 2 }=\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}},　p_{ 3 }=\dfrac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}$
n回目の試行開始時点で袋に人っている玉の個数$M_{ n } はM_{ n }=n+\fbox{ス}$であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数$R_{ n }はR_{ n }=M_{ n }×P_{ n }$と表される。n回目の試行において、黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が施行前と比べて$\fbox{セ}$個増えるため、n+ 1 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は$R_{ n+1 }=R_{ n }+(1-P_{ n })×\fbox{セ}$となる。したがって、
$P_{ n+1 }=\dfrac{n+\fbox{ソ}}{n+\fbox{タ}}×P_{ n }+\dfrac{1}{n+\fbox{チ}}$
が成り立つ。このことから、$(n+3)×(n+\fbox{ツ})×(P_{n}-\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}})$がnに依らず一定となる事が分かり、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } P_n =\dfrac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$と求められる。

2023杏林大学医過去問