問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$　点$z$が原点中心、半径1の円周上を動くとき、次の条件を満たす
点$w$はどのような図形を描くか。
(1)$w=2iz+1$
(2)$w=\displaystyle \frac{3z-2i}{z-2}$

${\Large\boxed{2}}$　$\displaystyle \frac{z}{z^2+1}$が実数となるように$z$が動くとき、
点$z$はどのような図形を描くか。

問題文全文(内容文)：
α、βを複素数とし、α≠０とするとき、次のことを証明せよ。
αβが実数　⇔　β＝kαとなる実数ｋがある

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{8}$　実数$a$,$b$と虚数単位$i$を用いて複素数$z$が$z$=$a$+$bi$の形で表されるとき、$a$を$z$の実部、$b$を$z$の虚部と呼び、それぞれ$a$=$Re(z)$,$b$=$Im(z)$と表す。
(1)$z^3$=$i$を満たす複素数$z$をすべて求めよ。
(2)$z^{100}$=$i$を満たす複素数$z$のうち、$Re(z)$≦$\frac{1}{2}$かつ$Im(z)$≧0を満たすものの個数を求めよ。
(3)$n$を正の整数とする。$z^n$=$i$を満たす複素数$z$のうち、$Re(z)$≧$\frac{1}{2}$を満たすものの個数を$N$とする。$N$＞$\frac{n}{3}$となるための$n$に関する必要十分条件を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$i$は虚数単位とし、$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$とする。
投げたときに表と裏の出る確率がそれぞれ$\frac{1}{2}$の硬貨を用意する$ z_{0} = 0$ とおき、この硬貨を4回投げて、複素数$z_1, z_2, z_3, z_4$を次の規則により定める。
$n = 1, 2, 3, 4$ に対して、$n$回目に投げたとき、表が出たならば$z_n = \omega z_{n-1}$とし、 裏が出れば$ z_n = z_{n−1}+1$とする。例えば、4回投げた結果、順に「裏、表、裏、 表」と出た場合、$z_{1} = z_{0} + 1 = 1, z_2 = \omega z_1 = \omega, z_{3} = z_{2} + 1 = \omega + 1, z_{4} = \omega z_{3} = \omega ^ 2 + \omega$ となる。
上の規則により$z_1, z_2, z_3, z_4$を定めたとき、$P$を$ z_{4} = 0 $となる確率、$Q$を$ z_{4} = 1$ となる確率、$R$を $z_{4} = \omega + 1$ となる確率とすると$2^4P=\fbox{ア}、2Q=\fbox{イ}, 2R=\fbox{ウ}$である。また、$S$を$|z_4|=1$となる確率、$T$を$|z_4|=2$となる確率とすると$2^4S=\fbox{エ}, 2^4T=\fbox{オ}$である。

問題文全文(内容文)：
Sを実部、虚部ともに整数であるような0以外の複素数全体の集合、Tを偏角 が0以上$\displaystyle \frac{π}{2}$未満であるようなSの要素全体の集合とする。またiは虚数単位とする。以下の問いに答えよ。
(1)$α=2$, $β=1+i$, $γ=1$のとき、 $|αβγ|$ の値を求めよ。
(2)複素数zについて、 arg z = $\displaystyle \frac{π}{8}$のとき arg(iz) の値を求めよ。
(3) α, ß, γ を Tの要素とする。このとき、$0 < |αβγ| ≦ \sqrt{5}$ を満たす α, ß, γ の
組の総数kの値を求めよ。
(4)α, ß, γをSの要素とする。このとき、$0 < |αβγ| ≦ \sqrt{5}$ および
$\displaystyle \frac{π}{8} ≦arg(αßγ) < \displaystyle \frac{5π}{8}$
を満たす α, β, yの組の総数をmとするとき、mをkで割った商と余りを求め
よ。

2023浜松医科大学医過去問