問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$ $e$を自然定数の底とする。自然数$n$に対して、
$S_n$=${\displaystyle {\int }_1^e(\log x{)}^{n}dx}$
とする。
(1)$S_1$の値を求めよ。
(2)すべての自然数$n$に対して、
$S_n$=$a_{n}e$+$b_n$,　ただし$a_n$, $b_n$はいずれも整数
と表されることを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
2020関西医科大学過去問題
${\log }_4(2x^2)-{\log }_{x}4+\frac{1}{2}=0$

問題文全文(内容文)：
大阪大学過去問題
xの範囲を求めよ
${\log }_2(1-x)+{\log }_4(x+4)\leqq 2$

問題文全文(内容文)：
$3^a=15,5^b=15$のとき
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=?$

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1](1)次の問題$A$について考えよう。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{問}\mathrm{題}A}} \mathrm{関}\mathrm{数}y=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\$\mathrm{の}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{値}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。}}$

$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2},}}$　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}}$
であるから、三角関数の合成により

$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}})$

と変形できる。よって、$y$は$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$をとる。

(2)$p$を定数とし、次の問題$B$について考えよう。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{問}\mathrm{題}B}} \mathrm{関}\mathrm{数}y=\sin \theta +p\cos \theta (0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2})\mathrm{の}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{値}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。}}$

$(\text{i})$　$p=0$のとき、$y$は$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$をとる。
$(\text{ii})$　$p>0$のときは、加法定理
$\cos (\theta -\alpha )=\cos \theta \cos \alpha$$+\sin \theta \sin \alpha$
を用いると
$y=\sin \theta +p\cos \theta$$=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}\cos (\theta -\alpha )$
と表すことができる。ただし、$\alpha$は
$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}}{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}}}$、$\cos \alpha =\frac{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}}{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}}$、$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
を満たすものとする。このとき、$y$は$\theta =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$で最大値
$\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}}$をとる。

$(\text{iii})$　$p<0$のとき、$y$は$\theta =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$をとる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}～\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$の解答群(同じものを繰り返
し選んでもよい。)
⓪$-1$
①$1$
②$-p$
③$p$
④$1-p$
⑤$1+p$
⑥$-p^2$
⑦$p^2$
⑧$1-p^2$
⑨$1+p^2$
ⓐ$(1-p{)}^2$
ⓑ$(1+p{)}^2$


$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$
①$\alpha$
②${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$


[2]二つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{2^x+2^{-x}}{2}}$、$g(x)={\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}}$ について考える。

(1)$f(0)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}、g(0)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$である。また、$f(x)$は相加平均
と相乗平均の関係から、$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$で最小値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$ をとる。
$g(x)=-2$ となる$x$の値は${\log }_2(\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}})$である。

(3)次の①～④は、$x$にどのような値を代入しても常に成り立つ。
$f(-x)=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}$　$\cdots$①
$g(-x)=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$　$\cdots$②
${\{f(x)\}}^2-{\{g(x)\}}^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}$　$\cdots$③
$g(2x)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}f(x)g(x)$　$\cdots$④

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$f(x)$
①$-f(x)$
②$g(x)$
③$-g(x)$


(3)花子さんと太郎さんは、$f(x)$と$g(x)$の性質について話している。

花子:①～④は三角関数の性質に似ているね。
太郎:三角関数の加法定理に類似した式($\text{A}$)～($\text{D}$)を考えてみたけど、
常に成り立つ式はあるだろうか。
花子:成り立たない式を見つけるために、式($\text{A}$)～($\text{D}$)の$\beta$に何か具体
的な値を代入して調べてみたらどうかな。

太郎さんが考えた式
$f(\alpha -\beta )=f(\alpha )g(\beta )+g(\alpha )f(\beta )$　$\cdots (\text{A})$
$f(\alpha +\beta )=f(\alpha )f(\beta )+g(\alpha )g(\beta )$　$\cdots (\text{B})$
$g(\alpha -\beta )=f(\alpha )f(\beta )+g(\alpha )g(\beta )$　$\cdots (\text{C})$
$g(\alpha +\beta )=f(\alpha )g(\beta )-g(\alpha )f(\beta )$　$\cdots (\text{D})$


(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式($\text{A}$)～($\text{D}$)のうち、
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$以外の三つは成り立たないことが分かる。$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$は左辺と右辺
をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$の解答群
⓪$(\text{A})$
①$(\text{B})$
②$(\text{C})$
③$(\text{D})$

2021共通テスト過去問